2011年广西凭祥高中高三第五次联考(数学文科)

数学文科 2011年元月16日

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

1．某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为（ ）

A．50

B．100

C．150

D．20

2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )

1

A．y＝－log2x(x>0) B．y＝x3＋x(x∈R) C．y＝3x(x∈R) D．y＝(x∈R，x≠0)

x3．等比数列{an}是递减数列，其前n项积为Tn，若T1016T6，则a6a11( B．4 C．2 14．已知sin()，则cos()的值等于( )

43 )

A．2 D．4

A．

22 3

422B．

3 C．

13 D．

135．设曲线yA．2

x12)处的切线与直线axy30垂直，则a（ ） 在点(3，x111B． C． D．2

226．设m,n,a,bR，若m2n21,a2b24，那么ambn有(

A．最大值

52)

D．最大值2

)

B．最大值22 C．最大值2

7．5名学生与两名教师站成一排照相，两名教师之间恰好有两名学生的不同站法有(

A．120

B．240

C．480

D．960

8．过ABC的中线AD的中点E作直线PQ分别交AB、AC于P、Q两点，若

APmAB,AQnAC，则

11( ) mn4B．

3A Q A．4 C．3

B P E D C D．1

9．已知异面直线a,b成角为，过空间一定点P且与a,b成角均为值范围为( )

A．(0,)

3的直线有4条，则的取3B．(,)

63

C．(,)

32

 D．(,]

3210．设奇函数f(x)在[-1，1]上是增函数，且f(1)1，若函数f(x)≤t22at1对所有的x[1,1]

1

都成立，则当a[1,1]时，t的取值范围是（ ）

A． t≥2或t≤2或t0 B．t≥或t≤或t0 C．2≤t≤2

1212 D． t2

11．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与面SBC所成的角的余弦值为

A．12232 B． C． D．

3333(3a)x3(x7)x6a12．已知函数f(x)(x7)，若数列{an}满足anf(n)，且{an}单调递增，则实数a的取值范围为( A．(2,3)

)

C．(,3)

94 B．(1,3) D．[,3)

94二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

x2y21a0,b0）13．已知双曲线22（的离心率e2，则其渐近线的方程为 ．

ab14．已知圆的方程x2y22与直线yxm没有公共点，则m的取值范围是 . 15．三个互不相等的实数a,b,c成等比数列，且满足abc2，则实数b的取值范围为_____. 16．已知定义域为R的函数f(x)对任意实数x,y满足：f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(x)不是常函数，常数t0使f(t)0，给出下列结论： ①f()t22；②f(x)是奇函数；③f(x)是周期函数且一个周期为4t；④f(x)在(0,2t)内2为单调函数。其中正确命题的序号是___________.

三．解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)sin2x23sin(x)cos(x)cos2x3。

44(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间；

25(2)求f(x)在区间[,]上的最大值和最小值，并指出相应的x的值。

1236

2

18．(本小题满分12分)甲、乙、丙三人参加北大自主招生考试，分理论考试和面试两部分，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都合格就被录取。甲、乙、丙三人理论考试中合格的概率分别为、、，面试合格的概率分别为互之间没有影响。

(1)甲、乙、丙三人谁被录取的可能性最大？ (2)求这三人都被录取的概率；

19．(本小题满分12分)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为23，D是棱AC之中点，C1DC600。

(1)求证：AB1∥平面BC1D； (2)求二面角DBC1C的大小； (3)求点B1到平面BC1D的距离。

20．(本小题满分12分)已知数列{an},{bn}满足：a1,anbn1,bn1(1)求b1,b2,b3,b4；

(2)求数列{bn}的通项公式；

(3)设Sna1a2a2a3anan1， 求证：Sn

3

353423957、、，所有考试是否合格相1068A1

B1 C1

A D B

C

14bn。 21an1. 421．(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bx1,(xR,a,b为常数)有极值，且x1处的切线与直线xy10平行。 (1)求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使得f'(x)x的两个根x1,x2满足：0x1x21，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。

22．(本小题满分12分)在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2，DO⊥AB于O点，OA=OB，21312DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设确定实数的取值范围。

4

DM，试DN2011年广西凭祥高中高三第五次联考数学（文科）参考答案及评分标准

2011年元月16日

一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D D A C D A D B D A 二．填空题： 13．y3x； 14．b2或b2；

15．(2,0)(0,23)； 16．③

三．解答题：

17．解：f(x)sin2x23sin(x4)cos(x4)cos2x3

f(x)cos2x23sin(x)cos[(x424)]3

cos2x23sin2(x4)3

cos2x3[1cos(2x2)]3

3sin2xcos2x2sin(2x6)

(1)f(x)的最小正周期T22； 由2k22x62k352,(kZ)，得k3xk6,(kZ)

所以f(x)的单调减区间为[k53,k6](kZ)

(2)因x[251112,36]，则2x6[3,9]

所以当2x62即x

3

时，f(x)max2；

当2x63即x12时，f(x)min3

18．解：分别记“甲、乙、丙被录用”为事件A、B、C，且A、B、C相互独立。

(1)P(A)395102750;P(B)3456583048;P(C)23787122848 因P(B)P(C)P(A)，所以乙被录用的可能性最大。

(2)记“三人都被录用”为事件D，则D=ABC，且A、B、C相互独立 则P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)27576350812320 答：(1)乙录取的可能性最大；(2)三人都被录取的概率为63320 19．解：如图，取A1C1之中点为D1，连接点DD1，

5

在正三棱柱ABCA1B1C1中，则有AC,BD,DD1两两互相垂直，分别以DB,AC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间右手直角坐标系。

C1DC600,AC23，且D为AC之中点，CC1AC，所

A1 z D1 B1 C1 以侧棱CC13，则所需各点的坐标分别为：D(0,0,0)，

A(0,3,0),B(3,0,0),B1(3,0,3),C(0,3,0),C1(0,3,3)

(1)设平面BC1D的法向量为n(x,y,z)，又

DB(3,0,0),DC1(0,3,3)，

nDB3x0 则由，取n(0,3,1)，又AB1(3,3,3)

nDC13y3z0A D C y B x nAB10即nAB1，又AB1平面BC1D，AB1∥平面

BC1D

(2)由(1)知平面BC1D的法向量n(0,3,1)(向外)，设平面BCC1的法向量m(x1,y1,z1)，

mBC3x13y10 又BC(3,3,0)，CC1(0,0,3)，由，取m(1,3,0)(向内)

mCC13z10 cosm,nmn|m||n|33，所以二面角DBC1C的平面角的大小arccos 44(3)由(1)知平面BC1D的法向量n(0,3,1)，又BB1(0,0,3)，则点B1平面BC1D的距离为 d

20．解：(1)anbn1,bn1b11bn111b，(*)，又 an1121an1an2bn4BB1n|n|3。 213141516,b2,b3,b4

35465744222456111111，又4 (2)由bn1得

32bnbn11bn1b11141}是以4为首项，1为公差的等差数列， 则数列{bn111n24(n1)n3，即bn1，bn bn1n3n3n21(3)由(2)知an1bn1， n3n3111而anan1

(n3)(n4)n3n4  又Sna1a2a2a3anan1，则有

6

Sn(1415)(1516)(1n31n4)1411n44

21．解：(1)f(x)1x3132ax2bx1,(xR,a,b为常数)，

f'(x)x2axb

又f(x)有极值，且x1处的切线与直线xy10平行，

a24b0ab11，即a24a0，所以实数a的取值范围为(,0)(4,) (2) 不存在实数a，使得f'(x)x的两个根x1,x2满足：0x1x21。

22．（1）建立平面直角坐标系,图略 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | =

2222(22)222 ∴动点P的轨迹是椭圆，且a2,b1,c1.

∴曲线E的方程是 x22y21 . （2）设直线L的方程为 ykx2, 代入曲线E的方程x22y22，得： (2k21)x28kx60

设M1（x1,y1),N(x2,y2), 则

(8k)24(2k1)60,① xx8k122k21,

② x1x262k21.

③ i) L与y轴重合时，|DM||DN|13 ii) L与y轴不重合时，131.

∴的取值范围是13,1 .

值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

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