圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
教材分析：
本课是沪科版九年级下册第24章第二节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。主要研究弧,弦,圆心角的关系。教材中充分利用圆的对称性,通过观察,实验探究出性质,再进行证明,体现图形的认识,图形的变换 ,图形的证明的有机结合。在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。同时弧,弦,圆心角的关系定理在后继证明线段相等,角相等,弧相等提供了又一种方法。
重点：圆心角、弧、弦之间的相等关系
难点：从圆的旋转不变性出发,得到圆心角,弦,弧之间的相等关系。
目的分析： 知识与技能目标：
（1）让学生在实际操作中发现并理解圆的旋转不变性。 （2）结合图形让学生理解圆心角的概念,学会辨别圆心角。
（3）引导学生发现圆心角、弧、弦之间相等关系,并初步学会运用这些关系解决有关问题。
过程与方法目标：
培养学生观察,分析,归纳的能力,渗透旋转变化的思想及有特殊到一般的变化规律。 情感与态度目标：
进一步培养学生的合情推理能力,发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力,同时对学生渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。
教法分析：
1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习,学生又有一定圆的相关概念,计算的知识储备,因此学习本节难度不是太大。由于学生对圆的旋转不变性不甚了解,所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难,另外对等弧等的理解可能不透彻,我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等,线段相等等有关问题时受思维定势的影响,学生往往会走利用“三角形全等”的老路,这时我会有意识引导,针对性训练构建学生头脑中新的知识网络。
2．教学活动是教与学双边互动过程,必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用,因此教学目标的达成,需优选教学法,根据学生的学情,本节课在探究圆心角,弦,弧之间的相等关系我采用发现模式,基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。这种教学模式注重知识的形成过程,有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法,例题教学时
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采用讲授模式,一方面通过新知识的讲解练习,及时反馈,查缺补漏,使学生树立信心,培养学习能力,另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。在最后小结时运用自学模式。
3．教学手段：学生动手,现场板演,多媒体辅助教学.
过程分析： 创设情景,引入新课
1.看一看思考
（1） 多媒体动态演示：平行四边形绕对角线交点旋转180度后,你发现了什么？ （2） 多媒体动态演示：圆绕圆心O旋转180度后你发现了什么？
这两个问题设置是让学生感性认识,发现平行四边形和圆旋转180度后都能与自生重合,是中心对称图形。
（3）思考：平行四边形绕对角线交点旋转任意一个角度后,你发现了什么？把圆绕圆心O旋转度任意一个角度后,你发现了什么？
第三个思考由特殊到一般,通过多媒体动态演示,平行四边形和圆旋转任意角是不同的,就把圆与一般的中心对称图形区别开来,目的是让学生观察对比得出圆的特有性质旋转不变性.而圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。
实践操作,探索新知
合作探究,自我发现是获得知识的最佳途径,所以以下几个环节提供自立合作探究的课堂学习环境,引导从多方面的挖掘中轻松发现。教学时鼓励学生用多种手段和方法探索图形的性质。在积极开展合作学习的同时锻练学生的数学语言表达能力。
1. 引出圆心角的概念：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角． 教学中我设计图形让学生辨别,目的是使学生理解会辩别圆心角。 （图）
多媒体动态演示：将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A`OB`的位置, 你能发现那些等量关系？为什么？
由学生大胆猜想,独立思考后发言,并互相补充。目的是在探究过程中通过猜想,思考,讨论充分调动学生的学习的积极性.
根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A`OB`的位置时,显然∠AOB=∠A`OB`,连接AB,A`B`,弦AB与弦A`B`,弧AB与弧A`B`大小关系又如何？
为了让学生找到他们关系,我是通过这种方式教学：使图形运动起来,让学生观察在运动中学习和研究几何问题,从而培养了学生观察、分析和归纳知识的能力。
近一步提出问题,猜想是否正确,我们必须给出证明,怎样证明呢？小组讨论。
BAO B
A 2
讨论目的是让学生在交流过程中取长补短,有易于学生积极构建自己的认知。证明过程中学生容易借助全等三角形对应边,对应高相等证明,我是这样处理的,顺应学生思维,让学生意识到全等解决不了证明弧相等,给学生一种冲突,恰如其分引导学生圆在学习中有着特殊的规律,我采用多媒体演示进行旋转,使学生认识到要证明弧相等,可根据定义证明弧重合。
在等圆中（两个能够重合的圆）,是否也能得到类似的结论呢？
请学生动手操作,用图钉将透明纸上的圆的圆心钉在硬纸板上的等圆圆心O上,将透明纸上圆心角∠AOB绕圆心O旋转到硬纸板上相等的∠A`OB`的位置时,连接弦AB,弦A`B`还相等吗？请用数学语言表达出来？
目的是让学生在实践中发现结论依旧成立。在交流过程中培养学生学会倾听使自己的想法更完善,学会表达能更精确运用语言概括。也体现了数学的严谨。
定理：在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等．
2.剖析定理得出推论
问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,请观察图形,你有没有其他想法？ （强化了学生对定理的理解,培养学生的思维批判性.） 图
问题2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,你能得到什么结论？在同圆等圆中,如果两条弦相等呢？
提出新的问题,我通过让学生动手操做,讨论、交流,类比的得出猜想和证明,老师与学生交流对话,归纳出推论. 推论包含了定理,它是定理的拓展
推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3．练习：（教材89页练习）
1、已知：如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节定理及推论填空： ．
（1）如果AB＝CD,那么______,____________； （2）如果
=
,那么______,____________；
（3）如果∠AOB＝∠COD,那么______,______,
（4）如果AB＝CD,OE垂直AB,OF垂直CD,那么OE与OF相等吗？为什么？
（5） 如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系？
∠AOB与∠COD呢？
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与 的大小有什么关系？
本练习是本节结论的综合应用,由于在圆中解决有关弦的问题时,常需要做“垂直于弦的直径”,且后面正多边形与圆等内容都涉及构造直角三角形,所以这里练习进行扩充,为后面学习作铺垫,可以让学生归纳为：同圆或等圆中如果个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等．通过本练习一方面巩固新知,一方面进行了拓展。
4． 问题一：相等的弦所对的弧是怎样的？
问题二：长度相等的弧是等弧吗？
在学生得到圆心角、弧、弦之间的相等关系,有点成就感之后直接提出学生容易混淆的问题,激发他们求知欲,通过学生讨论交流,课件演示让学生掌握相等弦所对的优弧和劣弧分别相等,能够互相重合的弧叫等弧,包含两层含义一是度数相等,二是长度相等。同时也让学
生感受了数学的周密性。
应用、巩固和反思
问题一：如图1以O为圆心的圆中弧AB等于弧AC, ∠ACB=60度,求证： ∠AOB=∠BOC=∠AOC
数学知识逻辑严密,体现了严谨性, 为培养学生逐步完善以求达到掌握新知识, 我用这个例题让学生自主思考,老师板书示范,培养学生正确的书写习惯。
图1 图2
问题二：如图2：已知AD=BC,求证：AB=CD 变式：如图2：已知弧AD=弧BC,求证：AB=CD
变换条件和结论让学生多角度探索问题有利于加深学生对同圆或者等圆中弧,弦,圆心角之间关系的认识。另外引导学生应用新学知识避免用三角形全等 补充:
小结：在得出本节结论的过程中,你用到了那些方法？学到了那些知识？与同伴进行交流。
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目的是引导学生有意识的归纳,总结所使用的研究图形的方法。通过学生自己的归纳,巩固对本课知识的掌握。 作业 ： 必做： 选做：
对于学生的作业布置首先做到适量,给学生留有足够的思考时间,明确提出反思任务,目的是使学生理解解题中的思维规律,积累学生数学解题活动的经验。评价分析：
本课例在充分落实知识与技能这一目标的前提下,注意到了过程与方法,并特别关注了对学生数学情感态度和价值观的培养。事实上学生对生活中的圆早就有了一定认识,但对本课重要的是学生从圆的旋转不变性出发,得到圆心角,弦,弧之间的相等关系,感受圆是最美地图形,激发学生对数学学习的情感,为此,
学生动手,现场板演,多媒体辅助教学.在互动学习中为学生的自主,合作,探究学习创造条件。主动向学生质疑,促使学生思考和发现,培养学生独立获取知识与方法的能力；同时利用多媒体技术给学生创设了宽松的学习氛围,使学生课堂发言踊跃,学习中始终保持兴奋,愉悦,渴求思索的心理状态,这些都有利于学生数学学习主体性的发挥以及数学创新能力的培养。
诚然,本课例仍有很多可以提升的空间,如：课堂语言上怎样进一步精练,在学生进行自主探究的时候,如何更好把握时间,恰如其分的进行指导等都值的再探讨。 板书：
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