双曲线练习题带答案,知识点总结(基础版)

一．知识点总结

双曲线：平面内与两个定点F（其中2aFF2的距离的差的绝对值等于常数2a1、1F2）的点的轨迹叫做双曲线. 集合语言表示为：PMMF1MF22a,2aF1F2 标准 方程 当双曲线焦点在x轴上时 当双曲线焦点在y轴上时 .

x2y21(a0,b0) a2b2y2x21(a0,b0) a2b2 图形 范 围 对称轴 对称 中心 实轴 虚轴 顶点 坐标 焦点 坐标 渐近线 xa，或xa ya，或ya x轴、y轴 坐标原点O(0,0) 实轴长2a，虚轴长2b x轴、y轴 坐标原点O(0,0) 实轴长2a，虚轴长2b (a,0) (c,0)，其中c2a2b2 (0,a) (0,c)，其中c2a2b2 xybyxa0，即yx 0，即yx abaabb2b22b2通径 aacce(其中e1) e(其中e1) 离心率 aa2221 a半实轴长；b半虚轴长；c半焦距；a、b、c之间满足cab. e叫做椭

c圆的离心率，e且e1.e越大，双曲线的张口就越大.

a2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e2，渐近线方程为yx

ba3.焦点在x轴上和在y轴上的渐近线方程分别为y=x和yx，容易记错，ab所以常把双曲线标准方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程。

4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.

b25.焦点三角形的面积SPF1F2

tan2试卷第1页，总7页

x2y2x2y26.与双曲线221有共同渐近线的双曲线方程可以表示为22（0）；ababx2y2x2y2与双曲线221有共同渐近线的双曲线方程可以表示为22（0）.baba

x2y21的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长1.已知F为双曲线C：

916的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则△PQF的周长为________． 44

x2y22．已知双曲线221(ab0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线ab2xy0垂直，则双曲线的方程为

x2y23x23y23x23y222y1 B. x1 C. 1 D. 1 A. 44205520【答案】A

【解析】由题可知2c25，则c5．渐近线方程为y2221b1x，则．又2a2x2y21；所以双曲线的方程为故本题答案选A． cab可得，a4,b1．

422视频

3．已知𝑂为坐标原点，设𝐹1,𝐹2分别是双曲线𝑥2−𝑦2=1的左、右焦点，点𝑃为双曲线左支上任一点，自点𝐹1作∠𝐹1𝑃𝐹2的平分线的垂线，垂足为𝐻，则|𝑂𝐻|=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 21

【答案】A

【解析】延长𝐹1𝐻交𝑃𝐹2于点𝑄，由角分线性质可知|𝑃𝐹1|=|𝑃𝑄|,根据双曲线的定义，||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2，从而|𝑄𝐹2|=2，在𝛥𝐹1𝑄𝐹2中，𝑂𝐻为其中位线，故|𝑂𝐻|=1.故选A.

点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.

2

4.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y＝16x的准线交于A，B两点，|AB|43，则C的实轴长为( ) A．2 B．22 C．4 D．8

5.设双曲线

xy1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线渐近线22ab1OOF1，则渐近线的斜率上的一点，AF2F，原点到直线的距离为FAF1213为

（B）2或2 （D）

22

D

（A）5或5 （C）1或1

22或 22试卷第2页，总7页

y26．已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则

3PA1·PF2的最小值为________．

2

-2

7.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( )

x2y2x2y2A.－＝1 B.－＝1 364522xyx2y2C.－＝1 D.－＝1 6354答案 B

x2y2

解析 由已知易得l的斜率为k＝kFM＝1.设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，A(x1，

ab

x2y2112－2＝1，aby1－y2

y1)，B(x2，y2)，则有22两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，得x1－x2x2y22－2＝1，ab

4b24b2

＝2，从而2＝1，即4b2＝5a2.又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选B. 5a5a





8．若直线ykx2与双曲线x2y26的左支交于不同的两点，则k取值范围为（）

15151515-，-11，，A． D．-1 C．3 B．-1， 333【答案】C

ykx222试题分析：联立方程2得1kx4kx100…① 2xy6若直线y=kx+2与双曲线x2y26的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负

根

2216k401k015101,∴解得：k∈ 021k34k021k9．经过双曲线

𝑥24

−𝑦2=1右焦点的直线与双曲线交于𝐴,𝐵两点，若 𝐴𝐵 =4，则这样的

直线的条数为（ ）

A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】B

【解析】由双曲线4−𝑦2=1，可得𝑎=2,𝑏=1，若𝐴𝐵只与双曲线右支相交时，𝐴𝐵的最小值距离是通径长度为

2𝑏2𝑎

𝑥2

=1,∵𝐴𝐵=4>1,∴此时有两条直线符合条件；若𝐴𝐵只与

双曲线两支相交时，此时𝐴𝐵的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为2𝑎=4，距离无

最大值；∵𝐴𝐵=4,∴此时有1条直线符合条件；综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.

10．𝑃是双曲线𝐶:𝑥2−𝑦2=2左支上一点，直线𝑙是双曲线𝐶的一条渐近线，𝑃在𝑙上的射影为𝑄,𝐹2是双曲线𝐶的右焦点，则 𝑃𝐹2 + 𝑃𝑄 的最小值为（ ） A.

2 2

B. 2 C. 3 2 D. 2+

2 2

【答案】C

试卷第3页，总7页

【解析】

由题知|𝑃𝐹2|−|𝑃𝐹1|=2𝑎=2 2，则|𝑃𝐹2|+|𝑃𝑄|=|𝑃𝐹1|+|𝑃𝑄|+2 2，由对称性，当𝐹1,𝑃,𝑄在同一直线上时|𝑃𝐹1|+|𝑃𝑄|最小，由渐近线方程𝑦=𝑥，|𝐹1𝑂|=2知|𝐹1𝑄|= 2 则|𝑃𝐹2|+|𝑃𝑄|的最小值为3 2．故本题答案选C．

x2y211．点P是双曲线221(a0,b0)上的点，F1,F2是其焦点，双曲线的离心

ab5ab的值等于（） 率是，且PF1PF2的面积是9，则1•PF20，若F4A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B

ca2b25b3，PF【解析】双曲线的离心率是1PF20

aa4a41SPF1PF29，PF1PF218．的面积 PF1PF2,PFF122在中，由勾股定理可PF1F2b3，a4，ab7，故选 C．

12．若双曲线C:

𝑥2𝑎

2−

得

24c2PF1|2PF2|2（PF1PF2）2PF1?PF24a236，a2b2a29，𝑦2𝑏2

=1（𝑎>0，𝑏>0）的一条渐近线被圆 𝑥−2 2+𝑦2=4所截

2 33

得的弦长为2，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 【答案】A

【解析】由几何关系可得，双曲线圆心 2,0 到渐近线距离为𝑑=𝑑=即

2𝑏+𝑎×0 𝑎2+𝑏2𝑐2𝑥2𝑎𝑏2 22−122−

𝑦2

=1 𝑎>0,𝑏>0 的渐近线方程为𝑏𝑥±𝑎𝑦=0，= 3，则点 2,0 到直线𝑏𝑥+𝑎𝑦=0的距离为

𝑐2

=

2𝑏𝑐

= 3，

𝑎24(𝑐2−𝑎2)

=3，整理可得𝑐2=4𝑎2，双曲线的离心率𝑒= = 4=2．故选A．

x2y21(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作倾斜角为300的13．双曲线2ab直线与y轴和双曲线右支分别交于A,B两点，若点A平分F1B，则该双曲线的离心率

是（） A. 3 B. 2 C. 2 D.

3 3【答案】A

AO∥BF2，故BF2F【解析】因为AO分别是F，F1B1F2的中点，所以1F2，在RtF1F2B中，BF1F230,设BF2x，则BF12x，又2xx2a，即x2a，由tan30xc23c23c得x，所以2a，e3，故选A. 2ca33试卷第4页，总7页

xy1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c(c0)，a2b2抛物线y22cx的准线交双曲线左支于A,B两点，且AOB120，其中O为原点，

14．已知双曲线则双曲线的离心率为（）

A. 2 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】如下图：

22 ，

c3cc23c2cOD,A,,代入双曲线方程，可得221，解得e31，选 24a4b22x2y215．已知双曲线221（a0，b0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲

ab线于A、B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（） A. 1,33 B. C. 1,2, D. 2, 222【答案】D

2b2b2AB是双曲线通径，AB【解析】，由题意ac，即a2acb2c2aaac2ac2a20，即e2e20，解得e2（e1舍去），故选D．

，

x2y216．设F1(a1b10)与双曲线C2：1，F2分别为椭圆C1：

a12b12x2y221(a20,b20)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，2a2b23F1MF290，若椭圆的离心率e1，则双曲线C2的离心率e2的值为（）

493532A. B. C. D.

2242【答案】B

试卷第5页，总7页

【解析】设mMF1,nMF2，所以{mn21am1a2a， { 由

mn22an1a2aF1MF290得

2c2m2n2a1a2a1a22a12a22，

21222a12a22a12a221133ee2，选， 2caa221242c2c2c2e12e22217．已知双曲线𝐶:𝑎2−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，𝐹1,𝐹2分别为其左、右焦点，过𝐹1的直线𝑙与

𝑥2𝑦2

双曲线𝐶的左、右两支分别交于𝐴,𝐵两点，若|𝐴𝐵|:|𝐵𝐹2|:|𝐴𝐹2|=3:4:5，则双曲线𝐶的离

心率为（ ）

A. 2 B. 4 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】

∵|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5，不妨令 AB =3， BF2 =4，|AF2|=5， ∵|𝐴𝐵|2+|𝐵𝐹2|

2

=|𝐴𝐹2|2 ，∴∠𝐴𝐵𝐹2=90∘

又由双曲线的定义得：|𝐵𝐹1|−|𝐵𝐹2|=2𝑎 ，|𝐴𝐹2|−|𝐴𝐹1|=2𝑎 ∴|𝐴𝐹1|+3−4=5−|𝐴𝐹1|,∴|𝐴𝐹1|=3 ，

|𝐵𝐹1|−|𝐵𝐹2|=3+3−4=2𝑎,∴𝑎=1

在𝑅𝑡𝛥𝐵𝐹1𝐹2 中，|𝐹1𝐹2|2=|𝐵𝐹1|2+|𝐵𝐹2|2=62+42=52， 又|𝐹1𝐹2|2=4𝑐2，∴4𝑐2=52,∴𝑐= 13 所以双曲线的离心率𝑒=

𝑐𝑎= 13 ，故选C.

x2y218．已知F1,F2是双曲线221(a0,b0)的左右焦点，过F2作双曲线一条渐

ab1近线的垂线，垂足为点A,交另一条渐近线于点B，且AF2F2B,则该双曲线的离

3心率为 A. 65 B. C. 223 D. 2

【答案】A

bcbb，即有AF2b，则【解析】由F2c,0到渐近线yx的距离为d22aabbBF23b，在AF2O中，OAa,OF2c,tanF2OA, ab24ba，化简可得a22b2，即有c2a2b23a2，即有tanAOB22ab1a试卷第6页，总7页

c6，故选A. a2x2y219．已知F为双曲线221(a0,b0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个

abBF3A，端点，过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若Ae则此双曲线的离心率为__________． 【答案】4 3x2y2【解析】F为双曲线221(a0,b0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个

ab端点，

设Fc,0,A0,b，直线AF：y根据题意知，直线AF与渐近线ybxb. cbx相交. abxbbcc联立两直线：{. ，消去x得：yBcabyxabc4?b. 由AB3FA，得yB4?b，所以ca4解得离心率e. 3y

试卷第7页，总7页