２０１０年第６期 数学教育研究 · ２９ · 数学归纳法在高考数列题中的应用 周 周 邓 ｊ、丽 （内江师范学院数学与信息科学学院四川，内江６４１１１２） １ 准备知识 定义１任何一个正整数集合Ｎ 都可以用以下 式，并予以证明．（第１６届希望杯全国数字邀请瑟试题） 解 猜测：口 一 干 ，下面用数学归纳法 “后序数”来刻划： １∈Ｎ ，这就是说１是正整数； 若 ＥＮ ，则有且仅有一个自然数称为 的后序 数，记作 ＋１． 若 ＥＮ。。，则 ＋１≠１．这就是说，没有一个正整 数的后序数是１； 如果 ∈Ｎ ，ｍ∈Ｎ ，且ｎ＋１一ｍ＋１，那么ｎ— ｍ． 对于每一个正整数，只能是某一数的后序数或者 不是后序数． 归纳公理设Ｍ是正整数的一个集合，且１∈Ｍ；如 果 ∈Ｍ，有 ＋１∈Ｍ．那么Ｍ包含一切自然数，即Ｍ Ｎ （第一数学归纳法的基础皮亚诺公理）． ２ 两个原理 定理１第一数学归纳法原理：设有一个关于正整 数集Ｎ 的命题Ｐ（ ），若存在 。ＥＮ‘‘，使得Ｐ（‰）成 立；若Ｐ（ ）成立（ ≥ 。），则Ｐ（ ＋１）也成立．那么，对 于任意正整数Ｎ ，Ｐ（ ）都成立． 证明设使Ｐ成立的全体正整数集合记作Ｍ．１∈ Ｍ（ｎ。一１），即Ｐ对于正整数１是成立的．假设 ＥＭ， 那么 ＋１ Ｅ Ｍ．也就是Ｐ对于正整数 成立，推得Ｐ对 于是＋１也成立．这样可得Ｍ—Ｎ ，即Ｐ对于全体正整 数均成立． 定理２第二数学归纳法原理：设有一个关于正整 数Ｎ 的命题Ｐ（ ）．若存在 。ＥＮ。。，使得Ｐ（ｎ。）成立． 假设当勘≤ｍ≤ 时，Ｐ（ｍ）成立，导出Ｐ（忌＋１）也成 立．那么，对于任意正整数Ｎ ，Ｐ（ ）都成立（其中ｍ， 都为正整数）． 证明 假设Ｐ不是对于所有正整数均成立，根据 整数集的序数理论（最小数原理），可以找到一个整数 不妨设 ≥志，使Ｐ（ｎ ）不成立，而Ｐ（ｍ一１）成立． 根据归纳假设，由Ｐ（ ）成立（ ≤ ＜ １—１），得Ｐ（ｎ ）成 立，这与前面的假设相矛盾．故Ｐ（ ）对于全体正整数 均成立． ３应用举例 例ｌ 在数列｛。 ｝中，ｎ 一÷，％＝ 去鼍寺等（ ＥＮ，且行≥２），求数列｛％）的通项公 证明： 当 一１时，ｎ 一 一百１；当 一２时，ｎ 一 －ｌ 一 ；当 一３时，ｎ。一 １ 一 １；当 一４时１ ，ｎ 一 一丽１；假设当 一 （ ≥４）时公式成立，即口 一 两 ，故吣 一 舞暑 ，则 —— 箬 ＋一 －ｎ。＋…＋“ａｋ ＋一 １ ａ１ ｄ－ ｎ２十…十 ＾ 一４一 口１ 。－ ：吼（ ＝吼 十 …十 ２＋３－ｒ－…＋ ）＋ｎ 一吼（１＋２＋…＋ ）一“ ×丛生 旦所以吼＋ 一 ｋ＋３ —— ａｋ： ｋ＋３—— × 一 Ｆ 干 Ｌ＿ 丽，这就是说，对任何正整数ｎ， ｎ 一 干 都成立，故数列｛ｎ ）的通项公式为 １ 。 一 玎 ‘ ∈Ｎ ）· 例２已知｛ｎ ）的前 项和ｓ 一一ｎ 一（ ）一 ＋２（ 为正整数）设 一—ｎ＋—ｌｎ Ｃ ＋Ｃ２＋…＋ 挖 Ｇ，试比较 与 的大小，并予以证明．（２００９年 十ｌ 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）第１９题）． 解在ｓ ＝一ｎ 一（ ）一 ＋２中，令 一１，可得 ｓ 一一ｎ －１＋２＝ｎ ，即口 一 １；当 ≥２时，ｓ 一。：一 ａｎ＿１－－（ ）一。＋２，所以 ：Ｓ．－ｓｎ－１￣－－ａｎ＋ 一 ＋ （１１一 ，所以２ａ ＋（÷） ２ ａ 一 ＋１．设ｂ 一２＂ａ ，所以ｂ 一ｂ 一 ＋１，即当 ≥２时， ｂ 一ｂ 一 一１又ｂ 一２ａ 一１，所以数列｛ｂ ）是首项公差 均为１的等差数列．于是ｂ 一１＋（ｎ－－１）·１一 一２ 口 ， 故。 一号，ｃ 一 ｎ 一（ ＋１）（—｝） ，所以Ｔ￣＝２Ｘ １＋ｓ×（丢） ＋ ×（÷）。＋…＋（ ＋ ）（ ） （ ） １ ２×（１／ ＋３×（ １）。＋４×（专） ＋… · ３Ｏ · 数学教育研究 ２０１０年第６期 ＋（ｎ＋１）（ １） （２）…× 一３ ５Ｘ＠Ｘ…× ２ｎ＞而成立． 由（１）一（２），萼一１＋（÷） ＋（÷） ＋…＋ （１）当 一１时，左边一号，右边 ，由号＞ ，所以 （—｝） 一 ＋ （—｝） 一 ＋ 一 不等式成立．（２）假设当，ｚ一 时不等式成立，即 × ×．．．× 一 ３ ｘ百５×．．．× ＞厢 ＋１）（÷） 一 ３一寄所以 一３一 ，则 一 成立．当 ＋１＇左边一 × ×．．·× × ｎ＋３± ：二 二 ３ ５ ２ｎ＋１ ２ ２ｎ＋１ ２ （２ｎ＋１） ｘ ｘ百７×…× × ＞厢 于是确定 与 的大小关系等价于比较２ 十ｌ 与２ｎ＋１的大小，由２＜２×１＋ｌ；２ ＜２×２＋１；２。＞２ ×丽２ｋ＋３＞而× ２ｋ＋３一√ 一 ×３＋１；２ ＞２Ｘ ４＋１；２ ＞２×５；…可猜想当 ≥３时， ２ ＞２ ＋１．证明如下：（１）当 一３，由上验算成立．（２） √ 、／ ４（ ＋１） 一√（、，一…。川）＋１‘＋。 １４（志＋１ ＞ ） 假设ｒｌ＝ （ ＞３）时成立，则 ：是＋１时２ 一２×２ ＞ 、，／ 干 ＿『，所以当 ｋ＋１时，不等式也成立．由 ２（２ｋ＋１）一４ｋ＋２—２（ ＋１）＋１＋（２ｋ一１）＞２（ ＋１）＋ （１）．（２）可得不等式幅丘１２＝守． １，所以当 一 ＋１时猜想也成立．综合（１）（２）可知，对 ４结束语 切 ≥３的正整数，都有２ ＞２”＋１． 数学归纳法可以在正整数集的序数理论中得到解 综上所述，当ｎ＝１，２ ｈｅ， ＜ ，当ｎ≥３时， 释，它不仅在证明数列问题时起着重要的作用，在命题 ＞ ． 从特殊性到一般性的推广中也有着其它方法难以达到 的作用．如果否定归纳法的作用，我们只能停留在对个 例３等比数列｛口 ）的前７１项和为Ｓ ，已知对任 别具体表面现象的认识上．无论是在初等数学还是高 意的ｎＥ Ｎ ，点（ ，Ｓ ）均在函数ｙ一 ＋ｒ（ｂ＞Ｏ且６≠ 等数学中，数学归纳法都被广泛的应用，并贯穿于整个 １，ｂ，ｒ均为常数）的图像上，当６—２时，记ｂ 一２（１ｏｇｚ。 数学学习中．正如华罗庚先生在其《数学归纳法》一书 ＋１）（，２∈Ｎ。。），证明对任意的 ∈Ｎ＋，不等式 × 中指出的那样：“数学归纳法正是体现了人的认识从有 限到无限的飞跃．” ×…× ＞￣／而成立（２０Ｏ９年普通高等学 参考文献 校招生全国统一考试（山东卷）第２０题）． ［１］蒋文蔚，杨延龄．数学归纳法［Ｍ］．北京师范大学出 解因为对任意的 ∈Ｎ。。，点（ ，Ｓ ），均在函数Ｙ 版社，１９８５． ＋ｒ（６＞Ｏ且ｂｙｅ１，ｂ，ｒ均为常数）的图像上．所以 ［２］马洪炎．高中数学竞赛解题方法Ｉ－Ｍ］．浙江大学出 得Ｓ 一ｂ”＋ｒ，当，２—１时，口１一Ｓ１—６＋ｒ，当 ≥２时，ｎ 版社，２００６． Ｓ 一Ｓ ｌ一（ ＋ｒ）一（ｂ一 ＋ｒ）一（６—１）ｂ一 ，又因 ［３］张禾瑞，郝锅新．高等代数（第五版）［Ｍ］．高等教育 为｛ｎ ｝为等比数列，所以ｒ一一１，公比为ｂ，口 一（ｂ－－１） 社，２００７． ｂ一 ，当６—２时，。 （ｂ一１）ｂ一 一２ ，所以ｂ 一２ ［４］李忠海，王家铧．代数课程研究［Ｍ］．科学出版社， （１。ｇ ｎ ＋１）一２（Ｉ。ｇ ２一 ＋１）一２ ，则 一 ， ２００６． 故 × ×．．·× 一号×丢×吾×．．·× ［责任编校钱骁勇］ ２ｎ＋１× × 咒 下面用数学归纳法证明不等式 ０ １ ０ ２（上接第３４页） 以意外和惊喜，会令我们陶醉和享受．让课堂教学充满 细节成就完美，于细微处见功夫．关注细节，也是 生命活力，有效促进每一位学生的发展．这需要我们关 追求教学的合理化、智慧化、精确化，使教学达到一定 注课堂教学的每一个细节． 境界后的品位和追求．精彩的教学细节不仅可以使教 学过程具体、丰富而充实，而且可以使教学过程充满诗 ［责任编校钱骁勇］ 意和灵动，充满智慧和创造；精彩的教学细节会给我们