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成都市田家炳中学2019-2020学年度高二(上)半期考试数学(文科)试题

2023-05-28 来源:独旅网
成都市田家炳中学2019-2020学年度 高二(上)半期考试数学(文科)试题

一、选择题:(每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是( )

A.(-∞,-2)∪23,+∞ B.-23,0 C.(-2,0) D.2

-2,3 2.已知命题P: , ,则命题P的否定为

A. , B. , C. ,

D. ,

3. 已知圆 : 与圆 : 外切,则圆 与圆 的周长之和为 A. B. C. D.

4.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8 C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=8 5.过椭圆x24y231的一个焦点,且垂直于x轴的直线被此椭圆截得的弦长为( )

A、

32 B、32 C、3 D、3

6.已知“x>k”是“3

x+1<1”的充分不必要条件,则k的取值范围是( )

A.[2,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞)

D.(-∞,-1]

7.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.-43

B.-34

C.3

D.2

.已知双曲线C:x2a2-y2

8b

2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )

A.2 B.2 C.

32

2

D.22 1

) x2y2

9.已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0),右焦点F到渐近线的距离为2,点F到原点的距离为3,则双曲

ab线C的离心率e为( )

5 3

35B. 5

6 3

6 2

3,2

A.C. D.10.椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为b

则的值为( ) a

3 2

23B. 3

93C. 2

23D. 27

A.

x2y2

11..设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,

ab则C的离心率为( )

3 6

1B. 3

1C. 2

3 3

A.D.x2y2

12.若双曲线2-2=1(a>0,b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐

ab标原点),则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.1,

5 2

B.1,

75 C.,+∞ 22

D.

7,+∞

2



二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点 2, , 0, ,则 ______.

14.写出命题“若方程ax2-bx+c=0的两根都大于0,则ac>0”的一个等价命题:________________. 15.焦距是8,离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.

→→

x2y2

16.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆2+2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且PF1·PF2=c2,则

ab此椭圆离心率的取值范围是________.

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

2

17. (10分)已知圆经过和,且圆在直线上,

(Ⅰ)求圆的标准方程;(Ⅱ)若直线垂直于直线l且与圆相切.求直线的方程.

18.(12分)已知命题p:实数x满足x2-2x-8≤0;命题q:实数x满足|x-2|≤m(m>0).(1)当m=3时,若“p∧q”为真命题,求实数x的取值范围;(2)若“¬p”是“¬q”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

19.(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取→→值范围;(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

3

20、(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点P(4,-10). →→(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0.

x2y2321、(12分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方

ab2程;(2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OA⊥OB.求证:原点O到直线AB的距离为定值,并求出该定值.

22.(12分)已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为42.(1)求动点M的轨迹C的方程;

(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交曲线C于不同于N的两点A,B,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.

4

高二(上)半期考试数学(文科)试题答案

一、选择题:

1、D 2、D 3、B 4、A 5、C 6、A 7、A 8、D 9、B 10、B 11、D 12、C 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上 13.25

14、若ac≤0,则方程ax2-bx+c=0的两根不都大于0 x2y2y2x2

15. +=1或+=1

259259

→→16.设P(x,y),则PF1·PF2=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,① b22

将y=b-2x代入①式解得

a

2

2

(2c2-b2)a2(3c2-a2)a2x==,

c2c22

又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2, c3232

∴e=∈,.答案 ,

a3223

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(Ⅰ)圆的标准方程为:

.

;(Ⅱ),

(Ⅰ)设圆的标准方程为:,

由题意可得,

即,解得 ,

∴圆的半径

5

∴圆的标准方程为。

(Ⅱ)由题意设直线的方程为∵直线与圆相切,

, 解得

,

整理得

∴直线的方程为

或。

18.解 (1)若p为真命题,则-2≤x≤4; 当m=3时,若q为真命题,则-1≤x≤5. ∵“p∧q”为真命题,∴p,q均为真命题,

-2≤x≤4,∴∴-1≤x≤4, -1≤x≤5,

∴x的取值范围为[-1,4].

(2)∵“¬p”是“¬q”的必要不充分条件, ∴p是q的充分不必要条件. ∵p:-2≤x≤4,q:2-m≤x≤2+m,

2-m≤-2,∴且等号不同时取得,∴m≥4, 4≤2+m,

∴m的取值范围为[4,+∞).

19. 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围;

→→(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|. 解 (1)易知圆心坐标为(2,3),半径r=1, 由题设,可知直线l的方程为y=kx+1,

6

|2k-3+1|

因为l与C交于两点,所以<1.

1+k24-74+7解得33

所以k的取值范围为

4-74+

3,3

7. 

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).

将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

4(1+k)7

所以x1+x2=,x1x2=. 21+k1+k2→→

OM·ON=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=

4k(1+k)

+8.

1+k24k(1+k)

由题设可得+8=12,

1+k2解得k=1,所以l的方程为y=x+1. 故圆心C在l上,所以|MN|=2.

20、(1)解 ∵e=2,

∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).

∵双曲线过点(4,-10),∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线的方程为x2-y2=6.

(2)证明 法一 由(1)可知,a=b=6, ∴c=23,∴F1(-23,0),F2(23,0), mm

∴kMF1=,k MF2=,

3+233-23

7

m2m2

k MF1·k MF2==-. 39-12

∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, →→

故k MF1·k MF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2=0. 法二 由(1)可知,a=b=6,∴c=23, ∴F1(-23,0),F2(23,0),

→→

MF1=(-23-3,-m),MF2=(23-3,-m), →→∴MF1·MF2=(3+23)×(3-23)+m2=-3+m2, ∵点M(3,0)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0, →→∴MF1·MF2=0.

c3

21.[解] (1)由题意知,e==,b2+c2=2,又a2=b2+c2,所以a=2,c=3,b=1,所以椭圆C的方

a2x22

程为+y=1.

4

2525(2)证明:①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±,此时,原点O到直线AB的距离为. 55②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

x4+y2=1,

由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. y=kx+m

4m2-48km则Δ=(8km)-4(1+4k)(4m-4)=16(1+4k-m)>0,x1+x2=-,xx=,

1+4k2121+4k22

2

2

2

2

2

m2-4k2

则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=,

1+4k2y1y2由OA⊥OB得kOA·kOB=-1,即·=-1,

x1x2

8

5m2-4-4k24

所以x1x2+y1y2==0,即m2=(1+k2), 251+4k

|m|25=.

51+k2所以原点O到直线AB的距离为

25

综上,原点O到直线AB的距离为定值.

5

22.解:(1)由椭圆的定义,可知点M的轨迹是以F1,F2为焦点,42为长轴长的椭圆.

由c=2,a=22,得b=2.

x2y2故动点M的轨迹C的方程为1. 84(2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=k(x+1),

x2y21由8得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0. 4y2k(x1)Δ=[4k(k-2)]2-4(1+2k2)(2k2-8k)>0,则k>0或k<-4 74k(k2)2k28k. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2212k212ky12y222kx1x2(k4)x1x24k(k2)2k(k4)24 x1x22k8kx1x2从而k1k21414A1,,B1,当直线l的斜率不存在时,得所以k1+k2=4.综上,恒有k1+k2=4. 22

9

10

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