八年级数学暑假专题 巧添辅助线解几何题 湘教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

暑假专题——巧添辅助线解几何题

二. 教学目标：

1. 使学生掌握添加辅助线构造三角形来解有关几何题。

2. 使学生对一些常用的辅助线，做到心中有数，减少盲目性，提高准确性。

三. 教学重点和难点： 重点：掌握添加辅助线解有关几何题的方法。 难点：辅助线的添法。

四. 巧添辅助线解几何问题典型例题讲解： 方法技巧1：求不规则多边形的角度或比较线段的大小关系时，常需构造三角形，然后利用三角形的内角和定理或三角形三边的关系来求解。 例题讲解：

例1. 如图，点P为△ABC内任意一点，连结PB、PC，求证：PB＋PCA P C B

分析：因为要证明的AB、AC、PB、PC没有直接联系，它们分别是两个不同三角形的边，因此需要添加辅助线，使它们能在同一三角形中，延长BP交AC于D即可得证。 证明：延长BP交AC于D，则 在△ABD中：AB＋AD>BD …………① 在△PCD中：DC>PC－PD …………② ①＋②得：AB＋AD＋DC>PC＋BD－PD 又∵BD－PD=PB AD＋DC=AC ∴AB＋AC>PB＋PC

A D P C B

方法技巧二：求证线段相等或角相等，以及求证线段的和差倍分关系或求角度，通常要构造全等三角形。

1. 有中线、中点的，通常延长加倍中线构造全等三角形。

2. 有等边、等角的，通常通过作平行线转移等边或等角或通过旋转构造全等三角形。 3. 有角平分线的，通常利用角平分线的性质或者等腰三角形的性质构造全等三角形。 4. 有线段的垂直平分线，通常利用垂直平分线的性质构造等腰三角形。 5. 有角的倍分关系的，常利用外角构造等腰三角形。 例题讲解：

例2. 如图，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB＋CD=BC，M是AD的中点，说明：BM⊥CM。

B A M C D

分析：此题出现了中点M，因此想到连结BM，并延长交CD的延长线于E，从而构造△ABM≌△DEM。 解：延长BM交CD的延长线于E点 ∵四边形ABCD是梯形，AB//CD ∴∠A=∠ADE，∠ABM=∠E

B A M C D E

又∵M是AD的中点 ∴AM=MD

∴△ABM≌△DEM（AAS） ∴BM=EM，AB=DE 又∵BC=AB＋CD ∴BC=DE＋CD=CE ∴△BCE是等腰三角形

又∵CM是△BCE边上的中线

∴CM⊥BE（等腰三角形的三线合一）

例3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连DE交BC于P。

求证：PD=PE。

A D C B P E

分析：要证PD=PE，通常的思路是证明PD和PE所在的两个三角形全等，从图中可以看出这是不可能的，因此想到构造一个三角形与△CPE全等或者构造一个三角形与△BPD全等。考虑到已知AB=AC，因此可过点D作DF//AC，则可得△FPD≌△CPE。 证明：过D作DF//AC交BC于F

A D C B F P E

∴∠DFB=∠ACB且∠DFP=∠ECP，∠FDP=∠CEP ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DFB ∴DF=BD=CE

∴△FPD≌△CPE（ASA） ∴PD=PE

例4. 已知：在△ABC中，AB=AC，顶角∠A=120°，作腰AB的垂直平分线，交BC于D点。求证：DC=2BD。

A E B D C

分析：由腰AB的垂直平分线我们可以联想到垂直平分线的性质，因此可连结DA，得出DB=DA。 证明：连结DA

A E B D C

∵DE是AB的垂直平分线 又∵∠BAC=120°，AB=AC

∴BD=AD

∴∠DAB=∠B=30°

∠B∠C18012030

2∴∠ADC=∠B＋∠DAB=30°＋30°=60° ∴∠DAC=90° ∴△ADC是直角三角形 又∵∠C=30° ∴CD=2AD=2BD ∴CD=2BD

例5. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠C=2∠B。求证：AC＋CD=BD。

分析：∵∠C=2∠B，如果以∠B为底角构造一个等腰三角形，就可以应用等腰三角形的性质来证明，可有以下两种思路： 证明1：在BD上截取DE=DC，连结AE

A B D C A B E D C

（1）

又∵AD⊥EC

∴AE=AC（垂直平分线的性质定理） 又∵∠C=2∠B

∴∠AEC=∠C=2∠B=∠B＋∠EAB ∴∠BAE=∠B ∴AE=BE ∴BE=AE=AC ∴BD=BE＋ED=AC＋CD 即AC＋CD=BD

证明2：延长BF使CF=AC，连结AF

A B D C F

（2）

∴∠F=∠CAF

又∵∠C=∠F＋∠CAF=2∠B ∴∠B=∠F ∴AB=AF 又∵AD⊥BF

∴BD=DF（等腰三角形三线合一） ∴BD=DF=DC＋CF=DC＋AC ∴AC＋CD=BD

例6. 以△ABC的两边AB、AC为一边各向形外作正△ABD和正△ACE，P、M、Q分别为BD、BC、CE的中点。求证：MP=MQ。

D E A P Q B M C

分析：要证明MP=MQ，由已知P、M、Q为中点，可以自然想到三角形的中位线

性质，连结DC、BE构成两个△BDC和△BCE，得到PM//可构造△ADC≌△ABE。 证明：连结DC、BE

D E A P Q B M C 11DC，QM//BE，又22

∵△ABD和△ACE都是正三角形 ∴AD=AB，AC=AE

∠DAC=∠BAE=∠BAC＋60° ∴△ADC≌△ABE ∴DC=BE

又∵P、M、Q分别为BD、BC、CE的中点

PM11DC，QMBE 22∴MP=MQ

【模拟试题】（答题时间：25分钟）

1. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。

A B E O C D

2. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。

A F E B D C

3. 已知E是正方形ABCD边CD上的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE。 求证：AF=AD＋CF。

A D E B F C

4. 已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE。

求证：CE=

1BD。 2 A E D B C

【试题答案】

1. 解：连结CD

A B E O C D

∵∠ECD＋∠BDC=∠B＋∠E =180°－∠BOE=180°－∠COD ∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E =∠A＋∠ECD＋∠BDC＋∠ACE＋∠ADB =∠A＋（∠ECD＋∠ACE）＋（∠BDC＋∠ADB） =∠A＋∠ACD＋∠ADC =180°

2. 证明：延长AD至G，使DG=AD，连结BG

A F E B D C G

∵BD=DC，∠BDG=∠ADC ∴△BGD≌△CAD ∴BG=AC=BE，∠G=∠CAD ∴∠G=∠BEG=∠AEF ∴∠AEF=∠CAD ∴AF=EF 3. 过E作EG⊥AF于G

A D E G B F C

∵∠D=90°，∠AGE=90° AE平分∠DAF ∴ED=EG ∵ED=EC ∴EG=EC ∵∠EGF=∠C=90° EF=EF

∴△EGF≌△ECF（HL） ∴GF=FC ∵ED=EG，AE=AE，∠D=∠AGE=90° ∴△ADE≌△AGE（HL） ∴AD=AG ∴AF=AG＋GF=AD＋FC 即AF=AD＋FC

4. 证明：延长BA交CE的延长线于F

F A E D C B

∵BE平分∠ABC，CE⊥BE ∴CE=

1CF 2又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF=90° ∠ACF=∠ABD=90°－∠F ∴△ACF≌△ABD ∴CF=BD ∴CE=

1BD CF2