第２８卷第９期２００７年９月湖南科技学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＶｂｌ．２８ＮＯ．９常用旋转体体积的简捷求法刘新文（湖南工业科技职工大学，湖南衡阳４２１００８）摘要：本文弄‘用定积分系统研究求旋转体体积的四种基本模式及其体积公式，并在此基础上探索出了一套关于常用旋转体体积的简捷求法。关键词：旋转体；体积；求法中图分类号：０１７２．２文献标识码：Ａ文章编号：１８７３—２２１９（２００７）０９－０００９—０３旋转体体积的求法是高等数学教学中的重点和难点，但令人遗憾的是，笔者在长期的数学教学过程中发现：不少教材只简单地列出了圆柱、圆锥、圆台和球体这些最常见的旋转体的体积公式，鲜有提及诸如椭球体、球缺、圆筒和抛物旋转体等稍为复杂的旋转体的体积公式，也没有系统地给出这些旋转体体积的一般求法，更不必说揭示它们之间的规律性。为了弥补高等数学教材在这方面的缺陷，充分满足广大学生强烈的求知欲望，帮助他们更好地学习高等数学，笔者在概括出旋转体统一定义的基础上，系统提出求旋转体体积的四种基本模式及其体积公式，并在此基础上探索出了一套常用旋转体体积的简捷求法。１概念旋转体就是由一个平面图形绕着一条与它同在一个平面内、且不通过该平面图形内部的定直线旋转一周所形成的封闭的几何体。这条定直线就叫做旋转体的轴，即旋转轴。常用的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、圆筒、椭球、球、球缺、球台、抛物旋转体等。圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而形成的封闭的几何体。其他旋转体与此相似。２定理定理１．由连续曲线ｙ＝ｆ（ｘ），直线ｘ－－ａ，ｘ＝ｂ（ａ＜ｂ）及ｘ轴所围成的曲边梯形绕ｘ轴旋转一周而形成的旋转体的体积为：Ｋ＝万Ｉ［，（工）】２ｄｘ定理２．由连续曲线工＝钗ｙ），直线ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ（ｃ＜ｄ）及Ｙ轴所围成的曲边梯形绕Ｙ轴旋转一周而形成的旋转体的体积公式为：Ｖｙ＝石广【缈（ｙ）］２ｄｙ定理３·由平面图形。匀鱼９，０ｓｙＳｆ（ｘ）绕ｙ轴旋转一周所形成的旋转体的体积公式为：ｕ＝２万广ｘｆ（ｘ）ｄｘ定理４·由平面图形０９＜ｙｇ，ｏ＜ｘｓ烈），）绕ｘ轴旋转一周所形成的旋转体的体积公式为：ｙ，＝２万ｆｄ夕伊（），）咖３常用旋转体的体积下面我们利用上述定理来求常用的旋转体的体积。【例１】计算由矩形Ｏｇ臼，０茎ｙ９绕ｘ轴和Ｙ轴旋转一周而形成的圆柱体的体积。解：由定理１知，由矩形Ｏ（ｘ９，０＜ｙ９绕ｘ轴旋转一周而形成的圆柱体的体积为ｑ＝ｌ、乃【，（ｘ）】２ｄｘ＝【，ｒｏｂ２ｄｘ＝翮易２由定理２知，由矩形０＜ｘ９，０＜ｙ９绕Ｙ轴旋转一周而形成的圆柱体的体积为：收稿日期：２００７－－０３－－２１作者简介：刘新文（１９７０－－），湖南祁东人，湖南工学院讲师，研究方向为高等数学与数理统计。万方数据 ９Ｖｙ＝ｒ刀【妒（）＇）】２ｄｙ＝ｆ万０２＋＝万口２６ｆ例２１计算由矩形ａ＜ｘ９，ｃ＜ｙｇ绕Ｘ轴和Ｙ轴旋转一周而形成的圆筒的体积。解：由定理３知，由矩形ａｓｘ９，ｃ＜ｙｇ绕Ｘ轴旋转一周而形成的圆筒的体积为：Ｋ：２万广Ｋ＝２万ｌ＝Ｉ一ａ）ｄｙ＝一，、２一ｃ２）２一ｃ２）由定理４知，由矩形ａ＜ｘ９，ｃ＜ｙ列绕Ｙ轴旋转一周而形成的圆筒的体积为：ｖ，：Ｋ＝ｘｌ广ｘｆ（ｘ）ｄｘ：２ｘ＝２２ｘｌｆ，ｘ（ｄ一一ｃ）ｄｘ＝ｃ）ｄｘｄ＝ｘ（ｂ２一２一一ｉａ２一ｃ）【例３】计算由直线ｙ＝ｋｘ（ｘ＝三ｙ）、真线ｘ＝０即Ｙ轴（直线ｙ＝Ｏ即ｘ轴）及直线ｘ＝ｂ（直线ｙ－－－ｄ）所围成的直角三角形绕ｘｋ轴（Ｙ轴）旋转一周构成的圆锥体的体积。解：由定理１知，由直线ｙ＝ｋｘ、直线ｘ＝０及直线ｘ＝ｂ所围成的直角三角形绕ｘ轴旋转一周构成的圆锥体的体积为：Ｖｘ＝／ｒｒ［ｆ（硼２出＝万ｒ（研出＝圭躺３＝等若令ｈ＝ｂ，仁ｋｂ，则为通常意义上的高为ｈ，底面圆半径为ｒ的圆锥体的体积公式：Ｖ＝三一ｈ由定理２知，由直线ｘ＝÷Ｙ、直线ｙ＝Ｏ及ｙ－－ｄ所围成的直角三角形绕ｙ＝轴旋转一周构成的圆锥体的体积为：ｖ＝万ｒ【认）Ｉ）】２毋＝石ｒ（》）２咖＝ｊ１石（寺２ｄ若令ｈ＝ｄ，仁孚，则是常见的高为ｈ，底面圆半径为ｒ的圆锥体的体积公式为：Ｖ＝去一ｈ【例４】设圆台的上、下底面圆的半径分别是ｒ１、ｒ２，面积为ｓｌ、Ｓ２，高为ｈ，求该圆台的体积Ｖ（其中‘２ｊ１２＝ｏ）。解：以下底面圆的圆心０２为原点０，以两底面圆心Ｏ１０２所在的直线为Ｙ轴ｉＥ；ａ扁Ｊ，过原心０在下底面圆０２内做Ｘ轴交圆０２于Ａ点，建立直角坐标系。过上底面圆的圆心ＯＩ做直线ＯｌＢ交圆Ｏ于Ｂ点，连接线段ＡＢ，易知ｏｌ、０２、Ａ、Ｂ四点的坐标分别为Ｏｌ（ｏ，ｈ）、０２（ｏ，ｏ）、Ａ（ｆ２，ｏ）、Ｂ（ｎ，ｈ），线段ＡＢ所在的直线方程为ｙ＝—堡一（ｘ．ｘ２），即ｘ＝！Ｌ≥ｙ＋，ｉ一您ｈｒ２。该圆台可以看作是直角梯形ＯｊＯ：ＡＢ绕Ｙ轴旋转一周而成的旋转体，那么由定理２知，该圆台的体积为：ｙ＝石ｒ［缈（ｙ）】２匆＝万ｒ（ｉ≯），＋吃）２咖＝万ｒ【（ｉ≯）２ｙ２＿｝－—２（—ｒｔ－广ｒ２）ｒ２），＋孑】由＝研三华肌与孝肌相＝ｊ１砒２％哟，ｚｙ．Ｉ因Ｙ，ｓ该圆台上、下底面圆的面积分别为Ｓ．＝万，；２，Ｓ，＝厅芬，所以该圆的体积也可表示为：ｙ：丢万（，ｉ：＋１吒＋４＞ｈ：ｌ（ｘｒｔ：＋√；彳夏孺）｜ｌｌ：ｉ１（＿＋√而）．Ｉｌ５３若令ｒｌ＝ｒ２－－－－－１＂，则该圆台的体积公式变为圆柱的体积公式Ｖ－－ｏｈ若令ｒｌ：０，ｒ２＝ｒ，则圆台的体积公式变为圆锥的体积公式Ｖ＝１３兀Ｔ２ｈ【例５】计算由椭圆丢＋冬＝１所围成的图形绕Ｘ轴和Ｙ轴旋转一周而形成的旋转椭球体的体积。扫。解：（１）这个椭球体如果看作是由半个椭圆ｙ＝旦√７。了及Ｘ轴所围成的平面图形绕ｘ轴旋转而成的几何体，那么由定理１可求得该椭球体的体积为：ｙ＝万￡【，（枷２出＝万￡（鱼ａ也Ｆ了）２出＝万笔ａ（以２石一三３工３）ｌ：。＝吾肋易２‘ｎｐｄｊ（２）这个椭球体如果看作是由半个椭圆ｘ＝旦√６ｂ’ｚ—ｙ：及Ｙ轴所围成的平面图形绕Ｙ轴旋转而成的几何体，那么由定理２知可求得该椭球体的体积为：Ｖ＝对幺吣）ｒｄｙ＿虬ｂ（詈厢）＇ｄｙ＝，ｃ蔷（ｂ２ｙ－｛ｙ３）Ｉｂ＿。＝詈躺若令ａ＝ｂ＝ｒ，则该旋转椭球体就变成半径为ｒ的球体，其体积为：Ｖ＝詈万ｒ３万 方数据【例６】设半径为Ｒ的球被距球心分别为ａ，ｂ（ｏ＜ａ＜ｂ）的两平行平面所截，求由所截得的球带与上、下底面围成的球台的体积。解：（１）若两平行截面位于球心异侧，由定理２易知球台的体积为：Ｖ＝万￡【烈ｙ）】２ｄｙ＝石＊ａ（Ｒ２＿ｙ２）ｄｙ＝石（以＋ｂ）Ｒ２－百１万（ａ３＋易３）（２）若两平行截面位于球心同侧，由定理２易知球台的体积为：Ｋ＝万ｒ【认ｙ）】２ａｙ＝万Ｊ：，（Ｒ２＿ｙ２）ｄｙ＝石（易一日）Ｒ２－３万（ｂ３－ａ３）若令ａ＝Ｒ．Ｈ，ｂ：Ｒ，则得到一个半径为Ｒ的球被一个平面所截、截得高为Ｈ的球缺的体积公式为：ｙ＝朋２（尺一三Ⅳ）【例７】计算由抛物线ｙ２＝２Ｐｘ（眶ｘｓｈ）绕Ｘ轴旋转一周所得到的抛物旋转体的体积（其中Ｐ＞Ｏ，ｈ＞０）解：由定理１易知该抛物旋转体的体积为：ｙ＝ｒ砸ｍ）】２ｄｘ＝ｒｘ（２Ｐｘ）ｄｘ＝ｘＰｈ２注：抛物ｙ２＝．２Ｐｘ（．ｈ＜ｘ如）绕Ｘ轴、ｘ２＝２Ｐｙ（－ｈＳ体的体积都是：Ｖ：ｘＰｈ２ｙｓ０）绕Ｙ轴、ｘ２＝－２Ｐｙ（－ｈｓｙ１０）绕Ｙ轴旋转一周所得到的抛物旋转参考文献：【ｌ】刘巍．高等数学ＩＭ］．北京：北京理工大学出版社，２００６。【２】陈纪修．数学分析【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００４．【３】同济大学数学教研室．高等数学【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９９６．（责任编校：何俊华）ＴｈｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｄｉｒｅｃｔｆｉｎｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｎｔｈｅｃｕｂａｔｕｒｅｏｆｃｏｍｍｏｎｓｏｌｉｄｏｆｒｏｔａｔｉｏｎＬＩＵＸｉｎ－ｗｅｎ（ＨｕｎａｎＡｂｓｔｒａｃｔ：ＭａｋｉｎｇｆｏｒＵＳｅＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｎｇｙａｎｇ，４２１００８）ａｏｆｄｅｆｉｎｉｔｉｎｔｅｇａｌ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｏｅｓｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｓｔｕｄｙｏｆｆｏｕｒｂａｓｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃｍｏｄｅｌｓｔｏｆｉｎｄｔｈｅｖｏｌｕｍｅＯｉｌｔｈｅｓｏｌｉｄｓｏｆｒｏｔａｔｉｏｎｓ．Ｏｎｔｈｅｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｏｍ，Ｗ色ｈａｖｅｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｔｈｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｄｉｒｅｃｔｆｉｎｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄｆｏｒｍｕｌａｏｆｃｏｍｍｏｎｓｏｌｉｄｏｆｒｏｔａｔｉｏｎ．ｔｈｅｃｕｂａｔｕｒｅＫｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｏｌｉｄｏｆｒｏｔａｔｉｏｎ；Ｃｕｂａｔｕｒｅ；Ｆｉｎｄｉｎｇ－ｍｅｔｈｏｄ万方数据 常用旋转体体积的简捷求法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘新文， LIU Xin-wen
湖南工业科技职工大学,湖南,衡阳,421008
湖南科技学院学报
JOURNAL OF HUNAN UNIVERSITY OF SCIENCE AND ENGINEERING2007，28(9)0次
1.同济大学数学教研室 高等数学 19962.陈纪修 数学分析 20043.刘巍 高等数学 2006
1.期刊论文 李艳丽.王逸迅.LI Yan-li.WANG Yi-xun 旋转体体积的计算方法 -西安理工大学学报2008,24(3)
为解决计算旋转体体积尚无具有普遍适用性的统一公式的问题,依据古鲁金第二定理推证得到:利用曲面积分计算空间某一平面图形∑绕直线(轴)L旋转而成的旋转体体积的通用公式;利用二重积分计算xoy面上的平面图形D绕直线(轴)L旋转而成的旋转体体积的通用公式.依据本文所证得的通用计算公式推证得到:在某些特定情形下利用定积分计算旋转体体积的具有针对性的公式.
2.期刊论文 节存来 关于求旋转体体积的一个注记 -承德民族职业技术学院学报2004,9(3)
证明了求旋转体体积的一个简便公式,阐释了其几何意义.
3.期刊论文 节存来 求旋转体体积的一种新方法 -河北农业大学学报2004,27(5)
利用通常的方法求旋转体的体积是相当繁琐的,本方法由重积分微元法推导出一个求旋转体体积的新公式,并给出了它的几何解释,该公式将旋转体的体积与生成旋转体的平面图形的重心联系起来,使计算简便直观.
4.期刊论文 葛淑梅.马秀芬 旋转体体积的两个公式的证明及应用 -中州大学学报2003,20(4)
用微元法证明了旋转体体积的两个公式,从而使旋转体体积的计算更直接、简便.
5.期刊论文 杨振.窦龚伟 讨论平面图形的形心与其绕坐标轴旋转的旋转体体积的关系 -科技信息2010(28)
本文通过对一些实际问题的分析、研究、证明.得到平面图形的形心与其绕坐标轴旋转的旋转体体积之间所存在的关系,利用两者之间的这种关系,在一些情况下我们就可以较为便捷的求得平面图形绕坐标轴旋转的旋转体体积.
6.期刊论文 袁俊华.张文武.YUAN Jun-hua.ZHANG Wen-wu 一般旋转体的体积和侧面积计算公式 -安庆师范学院学报（自然科学版）2008,14(2)
在一般数学分析教材中,关于旋转体的体积和侧面积的计算都是就旋转体的对称轴是X轴或Y轴这两种特殊情况进行研究的.但实际上,由于曲线y=f(x)经坐标变换后,有时会变得非常复杂,为此提出将微元法和解析法相结合,推出一般旋转体体积和侧面积的计算公式,使这类计算变得简洁明了.
7.期刊论文 李志海 柱壳法求旋转体体积的适用条件 -科技资讯2009(32)
求曲线所围成的平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积,通常采用的是柱体法(也称切片法),对于某些平面图形采用\"柱体法\"求解比较繁琐,而采用\"柱壳法\"却较快捷方便.本文就示例将两种计算方法加以比较,提出\"柱壳法\"求旋转体体积的适用条件.
8.期刊论文 隋亚莉.SUI Ya-li 用二重积分求旋转体的体积 -宁德师专学报（自然科学版）2007,19(1)
在微积分中,平面图形绕x轴或y轴旋转所成旋转体的体积用定积分计算已经解决,对于平面图形绕任意直线旋转所成的旋转体的体积如果仍用定积分计算则比较复杂.通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法,进而得出一般积分公式.
9.期刊论文 王培吉.王尚户.王嘉谋.WANG Pei-ji.WANG Shang-hu.WANG Jia-mou 基于微元法旋转体体积的计算 -高师理科学刊2010,30(1)
运用定积分中的元素法,给出按旋转轴的不同方向以及与平面图形的不同位置求旋转体体积的计算方法和计算公式,其它已知的旋转体体积公式是它的特殊形式.
10.期刊论文 刘丽红.王喜林.LIU Li-hong.WANG Xi-lin 新的计算旋转体体积原理 -新乡学院学报（自然科学版）2009,26(3)
讨论了应用定积分和二重积分的知识计算旋转体体积的新方法,并根据理论需要提出了面积矩和面心的概念.
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