八年级数学人教版

第九册

第一章 极坐标系

一、极坐标系的概念

1.1 极坐标系

极坐标系是用极轴和极角表示一个点的定位系统，它的坐标系轴是极轴，把极轴从原点（0，0）指向一个点，绕极轴顺时针旋转带向的射线的角度叫极角，该点的极坐标为（极距，极角），极距指从原点出发到该点的距离，极角指从正极轴正向按顺时针旋转到指向该点经过的角度。

1.2 极坐标系的图形

由极坐标系可以描绘出任意形状和角度的图形，比如圆、椭圆、曲线等。用极坐标系表示一个几何图形，只需要列出极坐标参数组，便可完整表示出该几何图形，而不必求出它的标准方程。

二、极坐标的算术运算

2.1 加法与减法

极坐标可以直接运用加法和减法，比如两个点A（2，150°），B（3，270°），则A+B=（5，180°），A-B=（-1，30°）。

2.2 乘法与除法

极坐标可以用乘法和除法。乘法时，将极距乘以相应的数字，也可以将极角乘以所得的倍数；除法时则相反，将极距除以相应的数字，也可以将极角除以所得的子数。

三、极坐标与直角坐标的相互转换

通过求解极坐标点与直角坐标系之间的转换关系，可实现极坐标与直角坐标的相互转换，换言之，可以将直角坐标系中的点，转换为极坐标，或将极坐标系中的点，转换为直角坐标。

3.1 极坐标到直角坐标

若给定极坐标系中的点P（极距a，极角度θ），转换为直角坐标系中的点P（x,y），则有

x=a*cosθ；

y=a*sinθ。

3.2 直角坐标到极坐标

若给定直角坐标系中的点P（x,y），转换为极坐标系中的点（极距a，极角度θ），则有

a=√(x^2+y^2)；

θ=tan^(-1)(y/x)；

四、极坐标的几何意义

P

4.1 内角：

若给定极坐标系中以点O(0,0)为中心，以OP(a,θ)为圆心，则OP与正极轴正向之间的角度θ叫做此圆的内角，其绝对值等于此圆心的极角。

4.2 外角：

若给定极坐标系中以点O(0,0)为中心，以PT(a,θ)为圆外某一点，则PT与正极轴正向之间的角度θ叫做此圆的外角，其绝对值等于此圆外点的极角。

4.3 中夹角：

若给定极坐标系中以点O(0,0)为中心，以A、B为圆上两点，则A、B之间的角度叫做此圆的中夹角，其绝对值等于圆心的极角减去圆外点的极角的绝对值。