sinx的n次方的在0～积分公式

sinx的n次方的在0～积分公式

对于函数 f(x) = sin(x)^n 在区间 [0, π]

上的积分公式，我们可以使用递归和分部积分的方法来推导。 首先，我们考虑基本情况，即 n = 1 的情况。我们有： ∫[0, π] sin(x) dx = -cos(x) 从 0 到 π = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2

接下来，我们考虑递归步骤，即假设我们已经知道 n-1 的情况。我们将使用分部积分来推导 n 的情况。设 u = sin(x)^(n-1)，dv = sin(x) dx，那么我们有 du = (n-1)sin(x)^(n-2)cos(x) dx，v = -cos(x)。

根据分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，我们可以得到： ∫[0, π] sin(x)^n dx = -cos(x)sin(x)^(n-1) 从 0 到 π - ∫[0, π] -(n-1)sin(x)^(n-2)cos^2(x) dx

由于 cos^2(x) = 1 - sin^2(x)，我们可以将上述积分改写为： ∫[0, π] sin(x)^n dx = -cos(x)sin(x)^(n-1) 从 0 到 π + (n-1)∫[0, π] sin(x)^(n-2) - sin(x)^n dx

根据递归假设，∫[0, π] sin(x)^(n-2) - sin(x)^n dx 的值我们已知为 I(n-2)。因此，我们可以将上式继续简化为：

∫[0, π] sin(x)^n dx = -cos(x)sin(x)^(n-1) 从 0 到 π + (n-1)I(n-2) 通过递归的方式，我们可以一步步简化到基本情况 n =

1，然后将所有的项相加得到最终的积分值。请注意，这个过程比较繁琐且复杂，所以在实际计算中可能更方便使用数值积分方法来求解这样的积分。