第24讲 三角函数解析式的求法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

三角函数的解析式的求法一般有三种：待定系数法、图像变换法和代入法. 【方式讲评】 方法一 使用情景 待定系数法 一般知道函数的图像或图像的特征. 一般先设出三角函数的解析式y解题步骤 数的A,k,周期确定函数的w,非平衡位置的点确定函数的. 【例1】 函数f(x)最高点的距离为

.

Asin(wx)k，再求待定系数A,w,,k，最值确定函3sin(wx)(w0,22)的图像关于直线x

3

对称，且图像上相邻两个

〔1〕求函数的解析式；〔2〕假设f()23(462)，求cos(33)的值. 2〔2〕由〔1〕得f()3sin(223),所以sin()1，又2得0,264626364所以cos(115， )1sin2()1661643sin()coscos()sin13151

cos()sinsin[()]42666642266315. 8【点评】利用待定系数法求三角函数的解析式，需要成立关于各个待定系数的方程，这需要对函数的图像和

性质理解透彻，如：图像上相邻两个最高点的距离为错了，待定系数的值也自然是错的.

，就是说函数的最小正周期是，而不是2.若是方程

【反映检测1】函数fxAsinxbA0,0,0,b为常数的一段图象如下图． 〔1〕求函数fx的解析式；〔2〕函数fx在y轴右边的极小值点的横坐标组成数列an，设右边的第一个极小值点的横坐标为首项a1，试求数列方法二 使用情景 解题步骤 1的前n项和Sn．

anan1图像变换法 一般涉及通过对一个函数的图像进展变换得到一个新的函数. 一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式. 【例2】函数f(x)2sin(x),其中常数0． (1)令1,求函数F(x)f(x)f(x)的单调区间； 2(2)令2,将函数yf(x)的图像向左平移个单位,再往上平移1个单位,取得函数yg(x)的图像．对6任意的aR,求yg(x)在区间[a,a10]上零点个数的所有可能值．

【点评】利用图像变换法求函数的解析式时，要对函数图像变换〔平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换〕比拟熟练，不要犯错. 学科#网

【反映检测2】函数f(x)sin(wx)(w0,0)的周期为,且f()0 ,将函数f(x)图像上的

42个单位长度后取得函数g(x)的图像.

所有点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕,再将所得图像向右平移〔1〕求函数f(x)与g(x)的解析式； 〔2〕是不是存在x0(,),使得f(x0),g(x0),f()依照某种顺序成等差数列？假设存在,请求出x0的646值，假设不存在,说明理由；

〔3〕求实数a与正整数n,使得F(x)方法三 使用情景 f(x)ag(x)在(0,n)内恰有2021个零点．

代入法 一般知道函数的一局部图像或图像的特征，求另外对称的一半的解析式. 解题步骤 一般先在所求的函数的图像上任意取一点P(x,y)，再求出点P的对称点P(f(x,y),g(x,y))，再把点P(f(x,y),g(x,y))的坐标代入的函数的解析式化简即得所求函数的解析式. 【例3】 定义在区间[22,]上的函数yf(x)的图象关于直线x对称,当x[,]时函数

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f(x)Asin(x)(A000)图象如下图．

(1)求函数yf(x)在[,]的表达式；(2)求方程f(x)(3)是不是存在常数m的值,使得|f(x)m|2在x[设不存在,请说明理由．

(2)当232的解；

2,]上恒成立;假设存在,求出m的取值范围;假3222322 ∴x)2sin(xx时,f(x)2sin(x或, )33632344 即x352当x时,f(x)2sinx2,sinx ∴x或∴方程f(x)2的或4421212,6解集是53,,, 121244【点评】(1)这种方式关键在于理解，这种处置方式有点类似求轨迹方程里的“代入法〞.可以把的图像上的点看做“主动点〞，对称图像上的点看做是“被动点〞，这样就好理解些了.(2)求对称点的坐标时，一般利用对称的知识列方程求解，不要算错了.

【反映检测3】设函数f(x)sin(

xx－)－2cos2． 366(1)求yf(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)假设函数yg(x)与yf(x)的图象关于点(0,1)对称，求当x[0,1]时，函数yg(x)的值域．

高中数学常见题型解法归纳及反映检测第24讲：

三角函数解析式的求法参考答案

【反映检测1答案】〔1〕fx3sin2x19n. 〔2〕Sn22；

66n4【反映检测2答案】〔1〕f(x)cos2x，g(x)sinx；〔3〕a1，n1342.学科#网 〔2〕不存在；【反映检测2详细解析】〔1〕由函数f(x)Asin(x)的周期为可得，2，又由f()0，04得2，所以f(x)cos2x；将函数f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔维持纵坐标不变〕后

可得ycosx的图像，再将ycosx的图象向右平移个单位长度后取得函数 2g(x)sinx.

〔3〕令F(x)f(x)ag(x)0，即cos2xasinx0，当sinx0时，显然不成立；当sinx0时，

cos2x11，令tsinx，那么当x[0,2]时，t[1,1].由函数a2t,t[1,1]及2sinxsinxsinxt12013在x[0,2]内有3个解.再由tsinx，x[0,2]的图像可知，当a1时，a2sinx671sinx3a可知，n26711342，综上所述，a1，n1342. 【反映检测3答案】〔1〕T6,单调递增区间为[6k－

3915，6k＋]，kz；〔2〕值域为[,].

2222【反映检测3详细解析】(1)由题意知f(x)＝x3xx3sin－cos－1＝3sin(－)－1，所以yf(x)233332的最小正周期T＝

152＝6．由2k－≤x－≤2k＋，kz，得6k－≤x≤6k＋，kz，所2223323以yf(x)的单调递增区间为[6k－

15，6k＋]，kz． 22(2)因为函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x2对称，设点P(x,y)是函数图像yg(x)上一点，那么其关于点〔0,1〕对称的点P(2x,2y)必在函数yf(x)的图像上，所以2y=3sin(2x33)1 所以

y3-3sin(2x33)

3922所以函数yg(x)的值域为[,].