向量知识归纳

向量知识点归纳与常见题型

一、向量知识点归纳

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a＞b”错了，而|a|＞|b|才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（x,y）,其中x、y满足 xy2 ＝1（可用（cos,sin）（0≤≤2π）表示）.特别：

2AB表示与AB同向的单位向量。

|AB|ACAB)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在例如：向量(|AB||AC|直线)；

ABAC)[0,).例1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满足OPOA(|AB||AC则点P的轨迹一定通过三角形的内心。

→→→→1ABACABAC→→→

(变式)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )

2→→→→|AB||AC||AB||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西)

⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。) 2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）

①当两个向量a和b不共线时，ab的方向与a、b都不相同，且|ab|＜|a|＋|b|； ②当两个向量a和b共线且同向时，ab、a、b的方向都相同，且|ab||a||b|； ③当向量a和b反向时，若|a|＞|b|，ab与 a方向相同 ，且|ab|=|a|-|b|； 若|a|＜|b|时,ab与b 方向相同，且|a＋b|=|b|-|a|.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

ABBCAC;ABACCB

例2：P是三角形ABC内任一点，若CBPAPB,R，则P一定在（ ）

1



A、ABC内部 B、AC边所在的直线上 C、AB边上 D、BC边上 例3、若AB·BCAB0，则△ABC是：A.Rt△ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt△ 特别的：ababab,

例4、已知向量a(cos,sin),b(3,1)，求|2ab|的最大值。

分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。 解：原式=|(2cos3,2sin1)|=88sin(2(2cos3)2(2sin1)2 5(kZ)时，|2ab|有最大值4. 63)。当且仅当2k评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“||a||b|||ab||a||b|”就显得简洁明快。原式|2a||b|=2|a||b|2124，但要注意等号成立的条件（向量同向）。

⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.

如，ABBCCA0,（在△ABC中） ABBCCDDA0.(□ABCD中) ⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

如果两个非零向量a，b，使a=λb（λ∈R），那么a∥b； 反之，如a∥b，且b≠0，那么a=λb.

这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与λb的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则

eaae|a|cos.(|e|1)

③abab0（∵=90°，cos0)

④在实数运算中ab=0a=0或b=0.而在向量运算中ab=0a=0或b=0是错误的，故a0或b0是ab=0的充分而不必要条件. ⑤当a与b同向时ab=|a||b|(=0,cos=1);

当a与b反向时，ab=-|a||b|(=π,cos=-1)，即a∥b的另一个充要条件是

 b不同向，ab0是为锐角的必要|ab||a||b|.当为锐角时，ab＞0，且a、 b不反向，ab0是为钝角的必要非充非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且a、分条件；

例5.如已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：41或0且）； 332

例6、已知i,j为相互垂直的单位向量，ai2j，bij。且a与b的夹角为锐角，

求实数的取值范围。

分析：由数量积的定义易得“a,bab0”，但要注意问题的等价性。 解：由a与b的夹角为锐角，得ab120.有而当atb(t0),即两向量同向共线时，有故,22,.

评析：特别提醒的是：a,b是锐角与ab0不等价；同样a,b是钝角与ab0不等价。极易疏忽特例“共线”。 特殊情况有aaa=|a|。或|a|=aa221. 2t1得2.此时其夹角不为锐角。

t212=a=2x2y2.

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

|a|=(x1x2)2(y1y2)2

⑥|ab||a||b|。（因cos1） ⑦数量积不适合乘法结合律.

如(ab)ca(bc).（因为(ab)c与c共线，而a(bc)与a共线） ⑧数量积的消去律不成立.

若a、b、c是非零向量且acbc并不能得到ab这是因为向量不能作除数，即

1c是无意义的.

aba(6)向量b在a方向上的投影︱b︱cos＝

(7) e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a1e12e2(1,2唯一)

特别：. OP＝1OA2OB则121是三点P、A、B共线的充要条件.

注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线

1＝a1OA例7、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若BO＋a200OC，且A、B、C2三点共线（该直线不过点O），则S200＝（ ）

A．50 B. 51 C.100 D.101

例8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足

OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点C的轨迹是_______（直线AB）

tt例9、已知点A,,B,C的坐标分别是(3,1),(5,2),(2,2).若存在实数,

使OCOA(1)OB,则t的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不确定 例10下列条件中，能确定三点A,B,P不共线的是： ．．．

3



A．MPsin220MAcos220MB

B．MPsec220MAtan220MB

C．MPsin220MAcos270MB D．MPcsc231MAcot231MB

分析：本题应知：“A,B,P共线，等价于存在,R,使MPMAMB且

。 1”

1(8)①在ABC中，PG(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地31PAPBPC0P为ABC的重心；ABBCAD则AD过三角形的重心；

2例11、设平面向量a1、a2、a3的和a1a2a30。如果向量b1、满足bi2ai，b2、b3，

且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i1,2,3，则（D）（06河南高考） A．b1b2b30 Bb1b2b30 C．b1b2b30 D．b1b2b30

o②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

ACAB)(0)所在直线过ABC的内心(BAC的角分线所在直线)； ③向量(|AB||AC|④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；(选)

⑤S⊿AOB＝1xAyBxByA;

例12、若O是ABC所在平面内一点，且满足OBOCOBOC2OA，则ABC的形状为____（答：直角三角形）；

例13、若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足

2O△ABCOAOBCO0，则内角C为____（答：120）例14、若点是的外心，且；

|AP|，则的值为___（答：2）PABPCP0，设； |PD|(9)、 P分P1P2的比为,则P1P=PP2,＞0内分;＜0且≠-1外分.

OP＝OP1OP2;若λ＝1 则OP＝

11(OP+OP2);设P(x,y),P1(x1,y1), 12x1x2x1x2xx2x3x,x,x1,123P2(x2,y2)则;中点重心

yyyyyyy1231212yyy...312说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分

子分母的位置。

例15、已知A（4，-3），B（-2，6），点P在直线AB上，且|AB|3|AP|，则P点的坐标是（ ）（2，0），（6，-6）

xxh(10)、点P(x,y)按a(h,k)平移得P(x,y),则PP＝a 或 函数yf(x)按

a(h,k)平移得函数方程为：ykf(xh)

4

yyk

说明：（1）向量按向量平移，前后不变；

（2）曲线按向量平移，分两步：ⅰ确定平移方向----与坐标轴的方向一致；

ⅱ按左加右减，上加下减（上减下加） 例16、把函数y2x2的图象按向量a(2,2)平移后得到的解析式是_________。

y2x28x6

例17、函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________（答：(4结论：已知A(x1,y1),B(x2,y2),l:AxByC0,过A,B的直线与l交于点P,则P分

AxBy1C,若用此结论,以下两题将变得很简单. AB所成的比是1Ax2By2C例18、已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是(1,1),(2,2)，若直线l的方程是xmym0，直线l与PQ的延长线相交,则m的取值范围是________.

Ax1By1C12m解:由得,因为直线l与PQ的延长线相交,故1,

23mAx2By2C2解得3m

3变式:已知点A(2,-1),B(5,3).若直线l:kxy10与线段AB相交,求k的范围.

Ax1By1C2k220及直线过端点得1k 提示: 由 得:5k25Ax2By2C（11）对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC， 则四点P、A、B、C是共面xyz1．注意：（1）起点相同 （2）系数和是1。

a1b1a2b2a3b3（12） 空间两个向量的夹角公式 cos〈a，b〉=（a＝(a1,a2,a3)，

222222a1a2a3b1b2b3b＝(b1,b2,b3)）.

（13）空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

,1)）

222 dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1).

（14）点Q到直线l距离ha=PA，向量b=PQ).

abc2R（R是三角形的外接圆半径） （15）正弦定理

sinAsinBsinC说明：正弦定理可直接进行边角转换；

例15：在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且

1(|a||b|)2(ab)2(点P在直线l上，直线l的方向向量|a|cosBb，求B的大小。 cosC2ac 5

cosBbsinB2B cosC2ac2sinAsinC3例16：在ABC中，若sinC2cosAsinB，则此三角形必是____三角形（等腰）

b2c2a2ba2b2 提示：c2cosAbc22bc提示：

（16）余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC.

111（17）面积定理①Sahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

222111②SabsinCbcsinAcasinB.

2222211(|OA||OB|)(OAOB)=OAOBtan(为OA,OB的夹角) ③SOAB22（18）三角形内角和定理 在△ABC中，有

ABCC(AB)CAB2C22(AB). 222说明：（1）三角形具有丰富的内涵（隐含条件）

ⅰ：两边之和大于第三边；ⅱ：斜边大于直角边；ⅲ：正（余）弦定理； ⅳ：面积公式；ⅴ：内角和是180；ⅵ：大角对大边 ⅶ：tanAtanBtanCtanAtanBtanC ⅷ：正弦、余弦函数的单调性； 锐角三角形中有：AB02ABsinAsin(B)cosB 22钝角三角形中有（C是钝角）：ABBsinAsin(B)cosB 222例17：定义在R上的偶函数f(x1)f(x)，且在[3,2]上是减函数，,是锐角三角形的两个角，则（ ）A、f(sin)f(cos) B、f(sin)f(cos) C、f(sin)f(sin) D、f(cos)f(cos)

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

（20）向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 a∥bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. （19）平面两点间的距离公式

A是实数，（21）线段的定比分公式 设PP2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP12的分点,1(x1,y1)，

且PP1PP2，则

x1x2x1OP11OP2t（）. (1t)OPOPOPtOP12yy112y11

6

（22）平面向量的综合问题

向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得它与“函数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形的特性又使它必然与“平面几何，解析几何，立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”。

一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始（一般需先平方），而共线，共点问题多由数乘向量处理。

3113例19．设平面向量a(若存在不同时为0的两个实数s,t及实数,),b(,)，

2222k0，使xa(tk)b,ysatb且xy。

（1）求函数关系式sf(t)；

（2）若函数sf(t)在[1,)是单调函数，求k的取值范围。

分析：由数量积的坐标运算，不难得出sf(t)的解析式，含参数必引起讨论，运用“整

体思想”可简化计算；f(t)在[1,)是单调函数，等价于“f'(t)0或f'(t)0在[1,)上恒成立”。

3113解：（1）a(,),b(,)，|a||b|1,且ab0，又xy

22222xy0即[a(tk)b](satb)0由此得：st3kt

'2（2）f(t)3tk，又f(t)是单调函数，

'2若f(t)是增函数，则f(t)0，恒有3tk,而t[1,)，0k3

'2若f(t)是减函数，则f(t)0，恒有3tk,而t[1,)，这样的k不存在

综上0k3.

评析：本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题”的高考命题思想相吻合。

2例20、在ABC中，

ABAC|AB|1BABC3，又E点在BC边上，且满足，

22|BA|3BE2EC，以A、B为焦点的双曲线经过C、E两点.求此双曲线的方程.

分析：遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义，就显得万分重要了。

解:以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系， ∴A（-1，0），B（1，0） 作CD⊥AB于D，由已知ABAC|AB|111， ∴|AC|cosA=，即|AD|=， 222同理又∵ BABC|BA|33，∴|BD|=， 22 7

1x2y2设双曲线的方程为221 (a>0,b>0),C(-,h), E(x1,y1)

2abx又∵ 3BE2EC，∴15 又∵E、C两点在双曲线上，

y2h1521h21212627∴,解答：a=,b=, ∴双曲线的方程为：7x-4a2b2776244h1,a2b2125a225b2y2=1.

评析：解析几何与向量的综合，主要表现为用向量的语言来表述题意（如共线，垂直常表现为向量等式，有时也涉及向量的坐标形式），其实其本质内容仍是本章节的知识的整合。本题中关键在理解两个向量等式（也即“向量的投影”）的几何意义，我们只要具备数学语言的“翻译”能力和简单的向量坐标运算的基础知识就可以了。 例21．设x,yR，且xy1，求证：(111)(1)9 xy分析：观察不等式的结构特征，可以联想向量数量积的性质“ab|a||b|”，构造向量

解决，不失为一种别致的想法。 证：设a(1,1x),b(1,1y)，则ab11xy，而|a||b|11(1)(1)。

xy由ab|a||b|得，(ab)2|a|2|b|2，(1221112)9. )(1)(1)(1xyxyxy评析：根据题目所含代数式的结构特征，合理构造向量的坐标，运用向量数量积的性质 “ab|a||b|”可以解决很多代数问题。同样将几何图形中的线段“向量化”也可研究

几何图形的性质。这就是新颖别致的解题方法 -- 向量法。“构造法”是一种创造性思维，体现了更高层次的思维价值。该例子在于唤起大家的“向量应用意识”，仔细体会，别有情趣。

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