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第一章 集合与充要条件

一、集合的概念 （一）概念

1. 集合的概念：将某些 的对象看成一个 就构成一个集合，简称为 。

一般用 表示集合。

组成集合的对象叫做这个集合的 。

一般用 表示集合中的元素。

2. 集合与元素之间关系：

如果a是集合A的元素，就说a A，记作 ； 如果a不是集合A的元素，就说a A，记作 。3. 集合的分类：

含有 的集合叫做有限集； 含有 的集合叫做无限集；

的集合叫做空集，记作 。 （二） 常用的数集：数集就是由 组成的集合。

1. 自然数集：所有 组成的集合叫做自然数集，记

作 ；

2. 正整数集：所有 组成的集合叫做正整数集，记作 ；

3. 整数集：所有 组成的集合叫做整数集，记作 ；4. 有理数集：所有 组成的集合叫做有理数集，记作 ；

5. 实数集：所有 组成的集合叫做实数集，记作 。（三） 应知应会：

1. 自然数：由 和 构成的实数。

2. 整数：由 和 构成的实数。

偶数： 被2整除的数叫做偶数；

奇数： 被2整除的数叫做奇数。

3. 分数：把 平均分成若干份，表示这样的 或 的数叫做分数。分数中间的 叫做分数线。分数线 的数叫做分母，表示把一个物体 ；分数线 的数叫做分子，表示

。

4. 有理数： 和 统称有理数。 5. 无理数： 的小数叫做无理数。 6. 实数： 和 统称实数。 二、集合的表示法 表 示 法 列 举 法 描 述 法 定 将集合中的元素 利用元素的 义 表示集合的方法。 来表示集合的方法。 1. 在 中画一条 ； 2. 左侧写上集合的 ， 并标出元素的 ；1. 将集合中的元（如果上下文中能够明显看具体方素 ； 出集合中的元素为实数，可以法 2. 用 分隔； 不标出元素的取值范围。） 3. 用 括为一个整体。 3. 右侧写出元素所具有的 。 【注】在使用描述法表示某些集合时，可以用 来叙述集合的 ，再用 括起来。 优 明确、直接看到集合中的元清晰地反映出元素的特征性点 素。 质。 不 能表示的集合有限。 抽象，不能直接看出元素。 适用类 足 一般用来表示有限集。 一般用来表示无限集。 型

【几个常用集合的表示方法】 （一）数集： 集 合 列举法 描述法 偶数集合 正偶数集 负偶数集合 奇数集合合 正奇数集 负奇数集合 （二）点集：在平面直角坐标系中，合 由x轴上所有点组成的集合 由y轴上所有点组成的集合 由第一象限所有点组成的集 由第二象限所有点组成的集合 由第三象限所有点组成的集合 由第四象限所有点组成的集合 三、集合之间的关系合 集合间的关系 子 集 真子集 相 等 如果集合B是 一般地，如果集集合A 一般地，如果两合B的元素 的 ，并且个集合的元定 义 集合A的元素，那A中 素 ，那么把集合B叫做 有 么就说这两个集集合A的子集。 元素 属于B，合相等。 那么把B叫做A的真子集。 符号表示 B A（或A B） B A（或A B） B A（或A B） B A B A 读 作 （或A （ 或A ———————B） B） — 图 示 1. 任何一个集合都是它自身的 。 2. 空集是任何集合的 ；是任何 集合明 确 的 。 3. 一个集合中有n个元素，则它的子集的数目为 ； 真子集的数目为 。 四、集合的运算 （一） 交集

1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由 的

所有元素组成的集合叫做A与B的交集。 2. 记作：A B；读作：A B。

3. 集合表示：A____B{___|________________}。 4. 图示：用阴影表示出集合A与B的交集。

A B

A A B

B

5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B，有

（1） AB__________； （2） AA____,A_____；

（3）AB____A,AB____B。

（二）并集

1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由 的

所有元素组成的集合叫做A与B的并集。

2. 记作：A B；读作：A B。

3. 集合表示：A____B{___|________________}。

4. 图示：用阴影表示出集合A与B的并集。

A B

A A B B

5. 性质：由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B，有

（1）AB__________； （2）AA____,A_____；

（3）A____AB,B____AB。

（二） 补集

1. 全集：

（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的 ， 这个给定的集合叫做全集。 （2）表示：一般用 来表示全集。

（3） 在研究数集时，经常把 作为全集。

2. 补集的定义：如果集合A是全集U的 ，那么，由U中 A的所有元素组成的集合叫做A 的补集。

3.记作： ；读作： 。

4. 集合表示：____{___|________________} 5. 图示：用阴影表示出集合A在全集U中的补集。 U

A

6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合A，都有 （1） ACUA_______； （2） ACUA_______；

（3） CU(CUA)_______；

（4） CU(AB)________________； （5）

CU(AB)________________。

五、充要条件

（一）相关概念：

1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。

2. 命题的表示方法：使用小写英语字母p、q、r、s等表示命题。

3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。

4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。 5. “如果......，那么......”命题：一般形式为“如果p，那么q”。

6. 题设（条件）：“如果”后接的p。

7. 结论：“那么”后接的q。

（二）充要条件：

1. 充分条件：

“如果p，那么q”是 命题，而“如果q，那么p”是 命

题，则称p是q的充分条件。

记作：p q；读作：由条件p 结论q。

2. 必要条件： “如果p，那么q”是 命题，而“如果q，那么p”是 命题，则称p是q的必要条件。

记作：p q；读作：由结论q 条件p。 3. 充要条件： 如果 ，并且 ，那么称p是q的 且 条件，简称充要条件。

记作：p q；读作：p与q 。

4. 既不充分又不必要条件：

如果 ，并且 ，那么称p是q的既不充分又不必要条件。

第二章 不等式

一、比较实数大小的方法

（一）实数的大小与正负

1. 正数 零，负数 零，正数 负数。

2. 两个正数，绝对值大的数 ；两个负数，绝对值大的数 。 3. 正数的和为 数，负数的和为 数。

4. 同号相乘（除）得 数；毅号相乘（除）得 数。

5. 互为相反数的两个数之和为 ；互为倒数的两个数之积

为 。

（二）数轴

1. 定义：数轴是一条规定了 、 、的直线。

2. 意义：数轴上的点与实数是 的关系。

3. 在数轴上，原点所代表的实数是 ，原点右边的点所代表的

实数是 数，原点左边的点所代表的实数是 数。

4. 在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数 ，

即，越往右的点代表的数越 ，越往左的点代表的数

越 。

5. 在数轴上，表示下列数的范围：

（1）x ≥ 3；

（2）x < 2； （3）1 ≤ x < 3。 （三）比较两个实数大小的方法： 比较法。 一般地，对于两个任意的实数a和b，有

ab0_______;ab0_______;ab0_______.

二、不等式的基本性质

1. 对称性：ab 。 2. 传递性：ab,bc___________。

3. 加法性质：ab___________________； ab,cd_________________。

4. 乘法性质：ab,c0__________，__________； ab,c0__________，__________； ab0,cd0_____________； ab0____________(nN*)； ab0____________(nN*)。 三、区间 （一）区间表示的对象： 。 由 上两点间的一切 所组成的集合叫做区间。 这两个点叫做区间 。 （二）区间的分类及定义：

1. 有限区间 （1）开区间： 端点的区间。 （2）闭区间： 端点的区间。 （3）右半开区间： 端点的区间。 （4）左半开区间： 端点的区间。 2. 无限区间：至少有一个端点 的区间。 （1）不存在右端点时，可以用符号 表示，读作 ；（2）不存在左端点时，可以用符号 表示，读作 。（三）区间、集合与图像的关系 设a、b为任意实数，且 a < b ，则各种区间表示的集合如下表： 区 间 集 合 图 像 (a,b)

[ a, b ] ( a, b ] [ a, b ) (,b) (,b] (a,) [a,) (,)

1. 定义：含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式。2. 一般形式：axb0(≥0)或axb0(≤0)，其中a0。 3. 一元一次不等式在各种情况下的解集： 方程或 解集(a0) 不等式 a0 a0 yyyaxb 的图像 OxOx axb0 描述法: 描述法: axb0 (axb≥0) 区间表示: 区间表示: 描述法: 描述法: axb0 (axb≤0) 区间表示: 区间表示: 五、一元二次不等式 1. 定义：含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式。 2. 一般形式： 或 ，其中 。

3. 一元二次不等式在各种情况下的解集： 方程或不等解集(a0,b24ac,x1x2) 式 0 0 0 四、一元一次不等式 yyyyax2bxc 的图像 OxOxOx ax2bxc0 ax2bxc0 ax2bxc≥0 ax2bxc0 ax2bxc≤0 4.解一元二次不等式的基本步骤：

（1）将不等式化为一元二次不等式的 形式，并 ； （2）设ax2bxc0，并解方程；

（3）根据上表，写出一元二次不等式的解集。 六、含绝对值的不等式 （一）绝对值的概念

1. 绝对值的含义：在 上，任意一个数所对应的点到 的 叫做该数的绝对值。

2. 正数的绝对值是 ，负数的绝对值是它的 数，0的绝对值是 。

3. 任意实数的绝对值是 数，任意两个相反数的绝对值 。

4. 绝对值的符号表示：

|x|____0, |x|____,(x____0)____,(x____0)

____,(x____0)5. 将方程|x|2的解表示在数轴上：–3–2 –10123x将不等式|x|2的解表示在数轴上：–3–2 –10123x将不等式|x|2的解表示在数轴上：–3–2 –10123（二）含绝对值的不等式 x 1. 解题步骤：

（1）将不等式化为含有绝对值的不等式的一般形式，即

①|x|c或|x|c；②|xb|c或|xb|c；③|axb|c或|axb|c。 一般形式为：不等号左侧是 ，右侧是 。

（2）去掉绝对值符号，解出不等式： 含绝对值 的不等|x|c(c0) 式 描述法： 描述法： 解 集 区间表示： 区间表示： 数轴表示 0x含绝对 0x 值 的不等|xb|c(c0) 式 去符号 含绝对值 的不等|axb|c(c0) 式 去符号 第三章 函 数 一、函数的概念 （一）函数的概念

1. 概念：在某一个变化过程中有 个变量 和 ，设变量的取值范围为 ，如果对于 内的每一个 值，按照某个 ， 都有

的值与它对应，那么把 叫做 ，把 叫做的 。

记作： 。 2. 明确：

（1）x叫做 ，它的取值范围是 叫做函数的 ；

（2）y = f ( x ) 叫做 ；

xx0时，函数yf(x)对应的值y0叫做函数在点x0处的 ； 记作： 。

的集合 叫做函数的 。

（3）函数定义中的两个要素是 和 。 3. 函数定义域的求法：

如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是

使得这个代数式

的 的取值范围。

（1）当f(x)为整式时，函数的定义域是 ；

（2）当f(x)为分式时，函数的定义域

是 ；

（3）当

f(x)为偶次根式时，函数的定义域

是 ；

（4）分段函数的定义域是各段自变量取值集合的 ； （5）当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使解析式有意义，还要考虑自变量的 。 4. 函数值及值域的求法：

（1）求函数值：只要将x的各个值 函数解析式中进行 即可；

（2）求函数的值域：所有函数值组成的集合。 （二）函数的表示法

1. 解析法：利用 表示函数的方法叫做解析法。

这个 叫做函数的 。

【明确】求函数解析式的常用方法：待定系数法：已知函数的类型，可根据函数类型设其解析式，再由其他已知条件确定其系数。

正比例函数的一般形式： ； 反比例函数的一般形式： ； 一次函数的一般形式： ； 二次函数的一般形式： 。 2. 列表法：利用 表示函数的方法叫做列表法。 3. 图像法：利用 表示函数的方法叫做图像法。

（1）函数的图像：在 中，以函数yf(x)的自变量x为 坐标，函数值y为 坐标的点 的集合。

【明确】①图像上每一点的坐标(x,y)都 函数解析式yf(x)； ②以yf(x)的每一组对应值x，y为坐标的点(x,y)都 。

（2）作函数图像常用的方法： 。

其步骤是：① ；② ；③ 。

二、函数的性质

A．函数的单调性

（一）函数的单调性的概念：

随着 的 而 （或 ）

的性质叫做函数的单调性。

设函数yf(x)在 (a,b)内有意义。

如果对任意的x1，x2(a,b)，当 时， （1）都有 成立，那么函数yf(x)叫做 内的增函数， 叫做函数yf(x)的 ； （2）都有 成立，那么函数yf(x)叫做 内的减函数， 叫做函数yf(x)的 ； 如果函数yf(x)在区间(a,b)内是增函数或减函数，那么称函数在区间(a,b)内具有 ，区间(a,b)叫做函数yf(x)的 。

（二）函数的单调性的理解：

1. 函数的单调性是与 紧密相关的，即函数

的 。一个函数在定义域内的不同区间内可以有 的单调性。

2. 注意关键词：

（1）对“任意”的“x1，x2(a,b)”，即 取特殊值，且必

须 ；

（2）“都有”即只要 就一定有 或 。

3. 不是所有函数都有单调性： 函数是没有单调性的；

有些函数在整个定义域内是单调性 的；

有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 ； 有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性 。 （三）函数的单调性的图像特点： 对于给定区间上的函数yf(x)，

1. 函数图像从 到 ， 则称函数在该区间上单调

递增是增函数；

2. 函数图像从 到 ， 则称函数在该区间上单调

递减是减函数。

（四）判断函数的单调性：

1. 图像法：作出函数的 ，根据图像的 判断函数的单调性。 2. 定义法：根据函数的单调性的定义判断函数的单调性。其步骤为：（1）设定自变量：设 ； （ 2 ）作差变形：作 ，并通过 、等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； （3）确定大小：确定 与 的大小；

（4）得出结论：根据 得出结论。

（五）函数的单调性的应用： 1. 根据 比较 的大小； 2. 根据 比较 的大小； 3. 在给定区间内求函数的 值或 值。 B ．函数的奇偶性

（一）函数的奇偶性的概念： 设函数yf(x)的定义域为D，如果对于任意的xD，都有 ，则 （1） ，那么函数yf(x)叫做偶函数； （ 2 ） ，那么函数yf(x)叫做奇函数。 （二）函数的奇偶性的理解： ① 若定义域 ，则函数 1. 函数按奇偶性可分为： 、 、 为 ； 和 。 2. 讨论函数的奇偶性的一个前提条件：函数的 。 （1）若函数的 ，再讨论 ； （2）若函数的 ，则这个函数 。 （3）函数 是既奇又偶函数。 （三）函数的奇偶性的图像特点： 1. 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像 ； 如果一个函数的图像 ，则这个函数是偶函数。 2. 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像 ；

如果一个函数的图像 ，则这个函数是

奇函数。

3. 一般地，设点P(a,b)为平面内的任意一点，则

（1）点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为 ；

（2）点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为 ；

（3）点P(a,b)关于原点O的对称点的坐标为 。 （四）判断函数的奇偶性： 1. 图像法：作出函数的 ，根据图像的 判断

函数的奇偶性。

2. 定义法：根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性。其步骤为：

（1）求出函数的 ；

（2）判断定义域的对称性：

② 若定义域 ，则进行 ； （3）比较f(x)与f(x)：确定 ，则函数为 ； 或 ，则函数为 ； 或 ，则函数为 。 3. 在公共定义域内： （1）若函数解析式中只含有x的偶次方，则函数为 函数； （2）若函数解析式中只含有x的奇次方，且 ，则函数为 函数； 若函数解析式中只含有x的奇次方，且 ，则函数为 函数。 （五）函数的奇偶性的应用： 1. 利用函数图像的对称性解决问题； 2. 求函数关于原点对称的区间上的函数值或解析式；

3. 函数的奇偶性与单调性的综合问题：主要体现在两个重要的性质；

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ； （2）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 。 三、函数的实际应用举例 （一）分段函数 1. 定义：函数在自变量的 取值范围内，需要用 的 来表示，这种函数叫做分段函数。

2. 分段函数的定义域：就是自变量的各个不同取值范围的 。

3. 分段函数的图像：在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同的取值范围内，根据相应的式子作出相应部分的图像。

（二）函数的实际应用 1. 关键问题：

（1）根据已知条件建立 ； （2）进行最值计算。

（3）函数的定义域要受到 的制约。 2. 主要类型： （1）图形的面积：

矩形的面积：S ； 圆的面积：S 。

（2）营销问题：成本 = ； 收入 = ； 利润 = 。

第四章 指数函数与对数函数

一、实数指数幂

（一）n次方根：一般地，如果 （nN*且n1），那么

x叫做a的n次方根。

1. 当n为偶数时：

正数a的偶次方根有 个，分别用 和 表示，其中

叫做a的n次算术根；

负数的n次方根 。 2. 当n为奇数时：

实数a的奇次方根只有 个，记作 。 3. 无论n为奇数还是偶数，零的n次方根是 。

（二）n次根式：形如 （nN*且n1）的式子叫做a的n次根式，

其中，n叫做 ，a叫做 。 （三）整数指数幂：当nN*且a0时， an______________；an________； a0______；；。

（四）分数指数幂：利用分数指数幂来表示 。 1. 规定：mman________；当man有意义，且a0时，an________。

其中：m,nN*，且n1.

1111a2______；a3______；a2______；a3______。

2. 当n为奇数时，a的取值范围是 ； 当n为偶数时，a的取值范围是 。 （五）实数指数幂的运算法则：a0，p,qR

apaq________；appaq_________；(a)q________；(ab)p________。

二、对数

（一）对数定义：如果abN（a0,a1），那么b叫

做 ，记作 ，其中a叫做 ，N叫做 。 （二）指数式与对数式：

形如 的式子叫做指数式；形如 的式子叫做对数式。

当a0且a1 ，N0时，在下式中标出相应字母与名称：

___________  log____________

（三）常用对数与自然对数：

1. 常用对数：以 为底的对数叫做常用对数， 简记为 ；

2. 自然对数：以 为底的对数叫做自然对数， 简记为 。

（四）对数的性质：a0且a1

1. loga1____，logaa____，logaan____； 2. lg1____，lg10____，；

3. ln1____，lne____，lnen____；

4. N____0，即 和 没有对数.

（五）对数的运算法则：a0且a1，M0，N0 1.

lg(MN)____________________，lgMN____________________， lgMn____________________，lg1N____________________； 2. ln(MN)____________________，lnMN____________________，

lnMn____________________，ln1N____________________；

3. loga(MN)____________________，logMaN____________________，

lognaM____________________，log1aN____________________，

loganam____________________。

三、幂函数、指数函数、对数函数 （一）幂函数

1. 概念：形如 （a ）的函数称为幂函数。 【明确】幂函数的自变量是 数， 数是常数。 2. 性质：

（1）定义域：看 。

① 当a是正整数时， ；② 当a是负整数时， ；

③ 当a是正分数，且分母为偶数，分子为奇数

时， ；

当a是正分数，且分母为偶数，分子为偶数时， ；

当a是正分数，且分母为奇数时， ； ④ 当a是负分数

时， 。 （2）值域：由 和 决定。

（3）单调性和奇偶性：看 ，具体问题，具体分析。 （二）指数函数

1. 概念：形如 （a ）的函数称为指数函数。

【明确】指数函数的自变量是 数， 数是常数。 2. 性质： 函 数 定义域 值 域 底 数 0a1 a1 图 像 指数函数的图像一定经过点 。 在 上是 函在 上是 函单调性 数； 数； 当x0时，y ； 当x0时， ； 奇偶性 当x0时，指数函数是 。 当 x  0 时， y函数。 。 （三）对数函数

1. 概念：形如 （a ）的函数称为对数函数。

【明确】对数函数的自变量是 数， 数是常数。

2. 性质： 函 数 定义域 值 域 底 数 0a1 a1 图 像 对数函数的图像一定经过点 。 在 上是 函在 上是 函单调性 数； 数； 当0x1时，y ； 当0x1时，奇偶性 当x1时，对数函数是y 。 y 函数。 ； （四）指数函数与对数函数的应用 1. 指数模型： ，其中c为 ， a为 。

一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化的时间求结果时，用指数模型。 2. 对数的应用：

一般情况下，已知起始数据，变化百分数和变化后的数据或数据变化的倍数，用对数求变化的时间。即log数据变化的倍数变化百分数。

第五章 三角函数

一、角的概念的推广 （一）任意角的概念

1. 角的概念：一条 绕着它的 旋转到另一位置形成的图形叫做角。

旋转开始的位置叫做角的 ，终止的位置叫做角的 ，端点叫做角的 。

正角：按 方向旋转所形成的角； 负角：按 方向旋转所形成的角； 零角： 旋转所形成的角。 2. 终边相同的角：

与角终边相同的角（包括角在内）都可以写成 。

与角终边相同的角有 个。

与角终边相同的角所组成的集合为 。

3. 象限角和界限角：将角的 与 重合， 与

重合。 （1）象限角：角的 在 的角就叫做第几象限的角；

第一象限的角的集合是： ；

第二象限的角的集合是： ；

第三象限的角的集合是： ；

第四象限的角的集合是： ；

（3）弧度的计算： 锐角： ，钝

① 公式： ； 角 ；

角度与弧度的转【明确】锐角 是第一象限的角，而第一象限的角 ②

换： ， ；

是锐角；

1____________________,1(rad)______________________。

钝角 是第二象限的角，而第二象限的角

是钝角。

（2）界限角：角的 在 的角就叫做界限角； 直角： 的角，平角： 的角，周角： 的

角。

①终边在x轴正半轴上的角的集合

是： ；

终边在x轴负半轴上的角的集合是： ；

终边在x轴上的角的集合是： ；

②终边在y轴正半轴上的角的集合是： ；

终边在y轴负半轴上的角的集合是： ；

终边在y轴上的角的集合是： 。 （二）弧度制 1. 弧度制：

（1）弧度：把等于 长的 所对的 叫做1弧度的角。

记作： 或 。

【规定】正角的弧度为 ，负角的弧度为 ，零角的弧度为 。

（2）弧度制：以 为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

2. 常用特殊角的弧度与角度之间的转换： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 角度 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度 二、三角函数

（一）三角函数的定义

1. 定义：一般地，设角是平面直角坐标系中的一个任意角，点 为角

上任意一点，点

P到 的距离为 且 ，那么角的正弦、余弦和正切分别定义为：

sin________,cos________,tan________。

2. 三角函数包括： 、 和 。

3. 三角函数的正负号： 所在的 点P的坐标 象限 x y sin cos tan 第一象限 第二象限

第三象限 第四象限 【记忆要点】

第一象限 正，第二象限 正， ③ 若没有说明角终边所在象限，则 。

2. 比例关系： 。 转

化： 、 第三象限 正，第四象限 正。

4. 特殊角三角函数值：  0 30 45 60 90 180 270 360 弧度 sin cos tan （二）同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系： 。 （1）转化一： ； ① 当角是第 、 象限的角时，取 号，即 ；

② 当角是第 、 象限的角时，取 号，即 ；

③ 若没有说明角终边所在象限，则 。 （1）转化二： ； ① 当角是第 、 象限的角时，取 号，即 ；

② 当角是第 、 象限的角时，取 号，即 ；

。 【明确】

（1）单位圆：在平面直角坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆叫做单位圆。

（2）必须是同角才具备以上关系式。

（3）角的终边与单位圆的交点P的坐标为 。 （三）诱导公式

1. 终边相同的角的同名三角函数值 。

2. 设角是第一象限的角（一般为090），则有

减函数，函数值由 减小到 ；

②当x (kZ)时，y取最大值，ymax______；

当x (kZ)时，y取最小值，ymin______；

（6）奇偶性：由诱导公式 可知正弦函数是

正弦函数：

1）解析式： ； 2）定义域： ； 3）值 域： ；

4）周期性： 周期性，最小正周期是 ； 5）单调性：

①正弦函数在每一个区间 (kZ)上分别是 增大到 ；

正弦函数在每一个区间 (kZ)上分别是

函数；

（7）函数图像：“五点法”作图。

① x的取值范围是： ； ② 五个关键点： x ysinx ③ 正弦函数的图像：

2. 余弦函数：

（1）解析式： ； （2）定义域： ； （3）值 域： ；

（4）周期性： 周期性，最小正周期是 ； （5）单调性：

①余弦函数在每一个区间 (kZ)上分别是

（四）三角函数的图像和性质1. （（（（（ 增函数，函数值由 增函数，函数值由 增大到 ；

余弦函数在每一个区间 (kZ)上分别是减函数，函数值由 减小到 ；

②当x (kZ)时，y取最大值，ymax______；

当x (kZ)时，y取最小值，ymin______；

（8）奇偶性：由诱导公式 可知余弦函数是 （5）单调性：正切函数在每一个区间22k,2k(kZ)上分别

2是增函数；

（6）奇偶性：正切函数是 函数。 三、已知三角函数值求角

1. 终边相同的角的三角函数值 ；

函数；

（9）函数图像：“五点法”作图。

① x的取值范围是： ； ② 五个关键点： x ycosx ③ 余弦函数的图像：

3. 正切函数：

（1）解析式： ； （2）定义域： ； （3）值 域： ；

（4）周期性： 周期性，最小正周期是 ；

2. 已知角的大小，则相应的三角函数值是 的；

3. 已知三角函数值，则相应的角有 个，可根据终边相同的角求出所要求范围内的角。

第六章 数 列

一、基本概念

（一）数列的概念：

按照 排成的 叫做数列； 数列中的 叫做数列的 。 从开始的项起，自左至右排序，各项按照其 依次叫做数列的 （或 ）， ， ，， ，。

其中反映各项在数列中的 的 分别叫做

对应的项的 ，取值范围是 。

（二）数列的分类：有穷数列：具有 的数列； 无穷数列：具有 的数列。 （三）数列的表示：一般形式是 ，简记作 。

通常把第n项叫做数列的 或 。一个数列的第n项an如果能够用关于 的一个 来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。

二、等差数列

（一）等差数列的定义：

如果一个数列从第 项起，每一项与 一项的 都等于 ，那么这个数列叫做等差数列。

这个 叫做等差数列的 ，一般用字母 表示。 可知：an1an____，则an1________。

（二）等差数列的通项公式： 。 【明确】等差数列的通项公式中，可以把 看作 的函数。 （三）等

差

数

列

的

前

n项和公

式： ；

。

（四）等差数列的应用：

1. 已知三个数成等差数列，一般可以将这三个数设为 。

2. 银行存款的年利率与月利率的关系是：月利率 = 。 三、等比数列

（一）等比数列的定义：

如果一个数列从第 项起，每一项与 一项的 都等于 ，那么这个数列叫做等比数列。

这个 叫做等比数列的 ，一般用字母 表示。 可知：

an1a____，则an1________。 n（三）等比数列的通项公式： 。

【明确】在等比数列中， 和 都不能为 。 （四）等

比

数

列

的

前

n项和公

式： ；

。

（五）等比数列的应用：

1. 已知三个数成等比数列，一般可以将这三个数设为 。

2. 贷款一般采用 ，含义是将前期的本金及利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息，俗称“利滚利”。

第七章 平面向量

一、平面向量的有关概念 （一）向量的概念

1. 向量的定义：既有 又有 的量叫向量。 2. 向量的要素： 和 。 3. 向量的表示方法：

（1）图形表示： ，即带有 的线段来表示向量。 （2）字母表示：以点A为起点，点B为终点的向量记作： ， 也可以记作： 。

4. 向量的模：向量的 （即有向线段的 ）叫做向量的模。

向量AB的模记作： ；向量a的模记作： 。 （二）特殊的向量：

1. 零向量： 为 的向量叫做零向量，记作： ； 零向量的方向是 的。

2. 单位向量： 为 的向量叫做单位向量。

3. 非零向量a的负向量：与非零向量a的模 ，且方向 的向量叫做向量a的负向量，记作： 。 【规定】零向量的负向量为 。 （三）相等的向量与共线向量：

1. 相等的向量：当向量a与向量b的模 ，且方向 时，

称向量a与向量b相等，记作 。

2. 共线向量： （3）结合律：(ab)c____(________)。

（1）互相平行的向量：方向 或 的两个 向量（二）向量的减法

叫做互相平行的向量，向量a与向量b平行记作 。 1. 向量的减法运算：求向量的 的运算叫做向量的减法。运算的结（2）向量的平移：在同一平面内，保持向量的 和 果是 。 不变，可以将向量平移至任何需要的位置。 2. 向量的减法运算法则： （3）共线向量：任意一组互相平行的向量都可以平移到 （ 1 ） 起点 相同的两个向量，它们的差向量是由 向量的终点指向

上，所以互相平行的向量又叫做共线向量。 （4）规定： 与任何一个向量都平行。

二、平面向量的线性运算 （一）向量的加法 1. 向量的加法运算：求向量的 的运算叫做向量的加法。运算的

结果是 。

2. 向量的加法运算法则：

（1）向量加法的三角形法则：已知向量a、b作ABa，BCb，在平面上任取一点，作向量AC，则向量AC叫做向量a与bA，的和，记作ab。

a b

（2）向量加法的平行四边形法则：已知向量a、b点A，作ABa，ADb，在平面上任取一为起点的对角线ACa，以AB，AD为邻边平行四边形ABCD，则以Ab。

a b

3. 向量加法运算律：

（1）零向量：a0_______________； （2）交换律：ab__________；

向量的终点，即若设ABa，ACb，则abABAC______；

（2）终点相同的两个向量，它们的差向量是由 向量的起点指向 向量的起点，即若设ACa，BCb，则

abACBC______。 3. 向量减法运算律：减去一个向量等于加上它的 。 即ab____(______)。 （三）向量的数乘运算

1. 向量的数乘运算： 与 的 运算叫做向量的数乘运算。

与 a的 仍然是一个 ，记作 。 2. 向量的数乘运算法则： （1）a的大小：即它的 为_________________；

（2）a的方向：当|a|0时， ① 若0，a与a ；② 若0，a与a 。

3. 向量数乘运算的运算律：若、为实数，则 （1）(a)(________)____；

（2）()a________________； （3）(ab)________________。 4. 向量的数乘运算的集合意义：就是把向量a沿它的 方向或 方向放大或缩小到原来的 倍。

（四）平面向量的线性运算

1. 平面向量的线性运算包括：向量的 、向量的 和向量的 运算。

2. 向量的线性组合：ab叫做向量 与 的一个线性组合，

其中、均为 。 三、平面向量的内积 （一）两个向量的夹角

1. 向量夹角的定义：设向量a与向量b都是非零向量，作OAa，OBb，

则 叫做向量a与向量b的夹角，记作 。

2. 明确：

（1）作向量的夹角时，两个向量必须在 起点出发； （2）向量的夹角的取值范围是 。 （二）向量的内积

1. 向量的内积的定义：两个向量a与向量b的

与它们的 的 的

叫做向量a与向量b的内积，记作

。

【明确】向量的内积的运算结果是 量。 2. 运算公式：ab__________________________。

3. 几个重要的结果：

）cosa,b（1_____________________

（2）aa(a)2(_____)2；

（3）|a|____________________； （4）ab0__________。

四、平面向量的坐标表示 （一）用坐标表示平面向量

1. 用起点与终点的坐标表示：设起点为A(x1,y1)，终点为B(x2,y2)，则向

量AB的坐标可以表示为AB(_________,_________)，即 坐标 - 坐标。

2. 用单位坐标表示：设i、j分别是平面直角坐标系内x轴和y轴上的

单位向量，对任何一个平面向量 a 都存在着一对有序实数对 (x,y)

使得 axiyj，则这个有序实数对 就叫做向量a的坐标，

记作a________。

（二）向量运算的坐标表示 在平面直角坐标系中，设a(xb1,y1)，(x2,y2)，则

1.

向量的模的运算：|a|____________；|b|

。

2. 向量的线性运算的坐标表示：

ab(________,________)；ab(________,________)；a(______,______)。

3. 向量内积的坐标表示：ab_____________；

若向量a与向量b都是非零向量，则

cos  a,b___________________________________，可以用这个公式求两个向量的 的大小。

4. 向量的平行（共性向量）与垂直：若向量a与向量b都是非零向量

（1）a//b ；

（2）ab 。

第八章 直线和圆的方程

一、直线方程

（一）两点间距离公式：设平面直角坐标系中有任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)：

1. 两点间的距离公式：|P1P2|______________________________； 2. 当这两个点都在x轴上时，y1y2_____，所以|P1P2|____________； 3. 当这两个点都在y轴上时，x1x2______，所以|P1P2|____________。 （二）线段中点坐标公式

设线段AB的两个端点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段的中点为

M(x0,y0)，则

x0___________,y0___________。

（三）直线的重要参数

1. 直线的倾斜角：直线 的方向与 轴 的夹角称为直线的倾斜角，记作：角 。 【规定】（1）直线与x轴平行时，其倾斜角为 ； （2）直线与x轴垂直时，其倾斜角为 ；

（3）直线倾斜角的取值范围是 。 2. 直线的斜率：

（1）直线的斜率的定义：直线倾斜角的 值就叫做直线的斜率，记作 。

（2）直线的斜率的计算方法：

【明确】当直线的倾斜角为 时，其正切值 ，

故当直线的倾斜角为 时，其斜率 ， 即当直线与x轴 时，其斜率 。 斜率的计算方法一：根据倾斜角计算。

即当直线的倾斜角为时，其斜率k__________； 斜率的计算方法二：根据直线上任意两点的坐标计算。

即当直线上有任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)时，其斜率为

k____________________；

斜率的计算方法三：根据直线的方程计算。

若直线方程为ykxb时，其斜率为 ；若直线方程为AxByC0时，其斜率k________。 3. 直线的截距：

（1）直线在x轴上的截距：

即直线与x轴的 的 坐标，一般用 表示；

直线在y轴上的截距：

即直线与y轴的 的 坐标，一般用 表示。

（2）截距的计算：

直线的斜截式方程中：a________,b________； 直线的一般式方程中：a________,b________。 （四）直线的方程 名 称 已知条件 直线方程 说 明 点斜直线上一点式 P 不能表示与x0(____,____) 轴 斜截 直线的斜率直线的斜率 不能表示与 的直x式 直线在 轴上的截 轴 一般距 的直能确定系数即可 可表示任何式 直线。 两点直线上任意两点 xx1式 P 不能表示平行于x、y轴的直1(x1,y1)和P2(x2,y2) xyy12x1y2y1线。 截距直线在 x 轴上的截 不距 x式 a x能表示平行于、y轴的直直线在 y 轴上的截距 ayb1 线和经过原点的直线。 （五）特殊的直线方程b

1. 垂直于x轴，平行于y轴的直线方程： ； 2. 垂直于y轴，平行于x轴的直线方程： ； 3. 过原点的直线方

程： 。

（六）点到直线的距离公式

设点为P0(x0,y0)，直线为l:AxByC0，则点P0到直线l的距离为

d_________________________________。

【明确】点到直线的距离公式中，必须用直线的 方程计

算。 （七）两条直线的位置关系 1. 平面内，两条直线的位置关系有 种。 2. 两条直线的位置关系： 当直线l1、l2的斜率都存在时，设l1:yk1xb1,l2:yk2xb2，则 两个方程的系数关 系 两条直线的位置关相 交 平 行 重 合 3. 两条直线相交：系 （1）两条直线相交的条件：

① 如果直线l1与l2的斜率都存在且 ，那么这两条直线相

交；

② 如果两条直线的斜率只有一个 ，那么这两条直线相

交。

（2）交点：交点同时在直线l1和l2上。

① 两直线相交有 个交点；

② 交点的坐标就是求对应的 的解；

求两条直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20的交点，就是解方程组 ； ③ 解二元一次方程组的方法有 法和 法.

（3）夹角：把两条直线相交所成的 叫做两条直线的夹角。

记作 ，取值范围是 。

（4）两条直线垂直：当直线l1与l2的夹角为 时，称直线l1与l2垂直。

记作： 。 （5）两条直线垂直的条件： ① 如果直线l1与l2的斜率都存在且不等于0，那

么 ；

② 斜率 的直线与斜率 的直线垂直。

4. 两条直线平行： （1）两条直线平行的条件： ① 如果直线l1与l2的斜率都存在， 且 ，那么这两条直线平行； ② 如果直线l1与l2的斜率都不存在且 ，则这两条直线都 x轴，倾斜角都是 ，它们在x轴上的 不相等，那么这两条直线平行。 （2）直线l1:AxByC10与l2:AxByC20互相平行。

（3）两条平行直线间的距离：

① 两条平行直线中的任意一条直线上的任意一点到另外一条直线的距离都相等； ② 求两条平行直线间的距离就是求其中一条直线上的任意 到另一条直线的 ； ③ 点到直线的距离公式： 5. 两条直线重合： 两条直线重合的条件： （1）如果直线l1与l2的斜率都存在， 且 ，那么这两条直线重合； （2）如果直线l1与l2的斜率都不存在且 ，那么这两条直线

重合.

二、圆

（一）圆的方程 圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程

圆心坐标 半径r 方程表示圆的条件 特殊的圆 圆心在原点的圆： 经过原点的圆： （二）直线与圆的位置关系

1. 直线与圆的位置关系：有 种。

2. 圆心到直线的距离：设圆的圆心为C(a,b)，直线为l:AxByC0，

则圆心C到直线l的距离是d_________________________________；

3. 直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，由r与d的关系可知 （1）当 时，直线与圆相离； （2）当 时，直线与圆相切； （3）当 时，直线与圆相交。 4. 圆的切线：

（1）过圆外一点作圆的切线有 条； （2）过圆上一点作圆的切线有 条。 （三）圆中的两个重要的直角三角形：

1. 圆上一点与一条直径形成一个直角三角形：

2. 圆的一条弦，过圆心作弦的垂线，设圆的半径为r，弦长为l，圆心到弦的距离为d，则有 。

第九章 立体几何

一、空间中的位置关系

（一）空间中直线与直线的位置关系

空间中，直线与直线的位置关系有 种： 、 或 。 位置关系 是否共面 是否有公共点 记 法 相 交 平 行 ———— （二）空间中直线与平面的位置关系

空间中，直线与平面的位置关系有 种： 、 或 。 位置关系 公共点情况 记 法 直线 平面 直线上 直线与平面 公共点 （1）依据 来判定, 即直线与平面 。 （2）判定定理： 。

且 公共 直线与平面 点 （三）空间中平面与平面的位置关系

符号表示：

空间中，平面与平面的位置关系有 种：

2. 性质定理：

或 。 位置关系 公共部分情况 记 法 相 交 有且仅有 平 行

二、空间中的平行

（一）空间中直线与直线的平行 1. 判定方法：

（1）依据 来判定，即两条直线在 且 。

（2）空间中直线的传递

性： 。

符号表示： （3）在同一平面内， 的两条直线平行。

2. 性质定理：等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别

平行，那么这两个角 或 。

（二）空间中直线与平面的平行

1. 判定方法：

。

（三）空间中平面与平面的平行 1. 判定方法：

（1）依据 来判定, 即两个平面 。

（2）判定定理： 。

符号表示： （

3

）

空

间

中

平

面

的

传

递

性： 。

符号表示： 【明确】

①空间中直线与直线、平面与平面之间 传递性；但直线与平面

之间 传递性。

②空间中, 平行于同一条直线的两个平面的位置关系

是 。

③空间中, 平行于同一个平面的两条直线的位置关系

是 。

2. 性质定理：

。 三、空间中的垂直

（一）空间中直线与直线的垂直

1. 定义：如果直线与直线 是 ，那么就称直线与直线垂直.

【明确】（1）如果两条直线垂直，那么它们所成的角是 。 （2）如果两条直线垂直，那么它们的位置关系是 或 。 2. 判定方法：

依据 来判定, 即确定两条直线所成的角是否为 。 3. 性质：

（1）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 。 （2）在空间中，垂直于同一条直线的两条直线 。 （二）空间中直线与平面的垂直

1. 定义：如果一条直线与一个平面内所有的直线都 ，那么这条直线与这个平面垂直。

【明确】（1）如果一条直线与一个平面垂直，那么它们所成的角是 。

（2）如果一条直线与一个平面垂直，那么它们的位置关系是 。 2. 判定方法：

（1）依据 来判定, 即直线 平面内的任意一条直线。

（2）判定定理： 如果一条直线与一个平面内的 都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

符号表示： 3. 性质：

（1）垂直：如果一条直线与一个平面垂直，那么它就 平面内的任意一条直线（所有的直线）。

（2）平行：垂直于同一个平面的两条直线 。 【拓展】①垂直于同一条直线的两个平面 。

②两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直，那么另一条直线与这个平面也 。

（三）空间中平面与平面的垂直

1. 定义：如果两个相交平面所成的二面角是 ，那么这两个平面垂直.

【明确】（1）如果两个平面垂直，那么它们所成的角是 。 （2）如果两个平面垂直，那么它们的位置关系是 。 2. 判定方法：

（1）依据 来判定, 即两个平面所成二面角是 。

（2）判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直。

符号表示： 3. 性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内 的直线也垂直于另一个平面。

【明确】垂直于同一个平面的两个平面 。 四、空间中所成的角

（一）空间中直线与直线所成的角 1. 在同一平面内：

（1）两条直线平行：规定它们所成的角为 。

（2）两条直线相交：则它们相交所得的 就是这两

条直线所成的夹角，取值范围是 。

2. 异面直线（不 的两条直线）：

（1）过空间中任意一点作两条异面直线的 ，那么这两条直线所成的 就是两条异面直线所成的角。 （2）异面直线所成的角的取值范围是 。 3. 空间中两条直线所成的角的取值范围是 。 （二）空间中直线与平面所成的角

1. 直线在平面内和直线与平面平行时，规定它们所成的角是 。 2. 直线与平面相交时：

（1）直线与平面垂直：过平面外一点作直线与平面垂直，那么 ①直线与平面的交点叫做 ；

②直线叫做平面的 ，平面叫做直线的 ； ③直线与平面所成的角为 。

（2）直线与平面斜交：即直线与平面相交但 。 ①直线叫做平面的 ； ②直线与平面的交点叫做 ；

③斜线与平面所成的角：

i. 过斜线上除 外一点向平面引 ，交点为 ；

ii. 与 的连线为斜线在平面内的 ； iii. 斜线与其在平面内的 所成的夹角就是斜线与平面所成的角.

④斜线与平面所成的角的取值范围是 。 3. 直线与平面所成的角的取值范围是 。 （三）空间中平面与平面所成的角

1. 半平面：空间中 可以把一个平面分成两个半平面。

2. 二面角：从 出发的 所组成的图形叫做二面角。

二面角的棱： ；二面角的面： 。

3. 二面角的表示方法：以l为棱，两个半平面分别为、的二面角， 记作： 。

4. 二面角的平面角：过 上的一点，分别在二面角的两个面内作

，以这两条 为边的 角叫做二面角的平面角.

5. 二面角的取值范围是 。

其中，当二面角的两个半平面 时，规定二面角为零角； 当二面角的两个半平面 时，规定二面角为平角；

二面角的平面角是直角的二面角叫做 ，此时称这两个平面 。 五、多面体与旋转体

第十章 概率与统计初步

一、计数原理 （一）分类计数原理

一般地，完成一件事，有 ，第1类方式有k1种方法，第2类方式有k2种方法，….，第n类方式有kn种方法，那么完成这件事的方法共有

N = （种）。

（二）分步计数原理

一般地，完成一件事，需要 ，完成第1个步骤有

k1种方法，完成第2个步骤有k2种方法，….，完成第n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤 ，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有

N = （种）。

二、概率 （一）事件

1. 随机事件：在一定条件下， 的事件，

常用 表示；

必然事件：在一定条件下， 的事件，

用 表示；

不可能事件：在一定条件下， 的事件，

用 表示。

2. 基本事件：在试验和观察中 的 的随机事件；

复合事件：可以用 来描述的随机事件。 3. 互斥事件： 的两个事件；

和事件：如果事件C发生，那么事件A与事件

B ，

那么称事件C是事件A与事件B的和事件，记

作： 。

（二）频率：在n次重复试验中，事件A发生了m次，m叫做事件A发生的 ，事件A的频数在试验的总次数中所占的 叫做事件A发生的频率。

（三）概率：一般地，当试验的次数n充分大时，如果事件A发生的频率总稳定在某个 附近，那么就把这个常数叫做事件A发生的概率，记作： 。

【明确】1. 频率是 的结果，与试验直接有关； 2. 概率是 ，是事件A发生的可能性规律。 （四）概率的性质

1. 对于必然事件：P()________； 2. 对于不可能事件：P()________； 3. ________≤P(A)≤________。 （五）古典概型

如果一个随机试验的基本事件只有 个，并且各个基本事件发生的可能性

，那么称这个随机试验属于古典概型。

事件A包含的结果有m个基本事件，随机试验中的基本事件共有

n个，那么事件A发生的概率为P(A)__________。

（六）概率加法公式

一般地，对于互斥事件A和B，有P(AB)____________________。 三、总体、样本与抽样方法 （一）总体与个体

1. 总体：在统计中，所研究对象的 叫做总体。 2. 个体：组成总体的 叫做个体。 （二）样本与样本容量

1. 样本：被抽取出来的 的 叫做总体的样本。

2. 样本容量：样本中所含个体的 叫做样本容量。 （三）抽样方法 中某事件发生的概率。

【明确】绘制频率分布直方图时要注意：

1. 常用的抽样方法有： 抽样、 抽样、 （1）纵轴是 与 之比，即 ；

抽样。

2. 简单随机抽样：当总体中所含个体数 时，通常采用简单随机抽样。

3. 系统抽样：当总体中个体数 ，且其分布 明显的不均匀情况时，通常采用系统抽样。

4. 分层抽样：当总体由有 的几个部分组成时，通常采用分层抽样。 四、用样本估计总体 （一）组距、频数与频率

1. 组距：将给定的数据按照一定规则进行分组，每组数据的取值范围就是组距。

2. 频数：各组内数据的 叫做该组的频数。

3. 频率：每组的 与 的比值叫做该组的频率。 （二）用样本的频率分布估计总体的步骤 1. 选择恰当的 方法得到样本数据；

2. 找出数据中的最 值和最 值，可以通过作差的方法确定 和

，并确定数据的 ，然后列

出 。 3. 绘制 。

4. 观察频率分布表与频率分布直方图，根据样本的频率分布估计总体

（2）横轴是 的 与 ； （3）直方图中的每个小矩形的面积代表事件发生的 。

（三）样本均值、样本方差与样本标准差 有n个数：x1,x2,x3,,xn 1. 样本均值：这

n个数的平均数，即

x

。

【明确】（1）样本均值反映出这组数据的 。 （2）可以用样本的均值来估计总体的 。 （3）样本容量越 时，这种估计可信度越高。 2.

样

本方差

： s2 ； 样本标准差：s_______________________________________。

【明确】 （1）样本方差和样本标准差反映了样本的 情况。

（2）可以用样本方差和样本标准差估计总体

的 。