...若两正数a,b满足f(2a+b)<1,则(b+3)/(a+3)取值范围

发布网友 发布时间：2024-10-23 22:59

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热心网友 时间：2024-10-31 15:49

f'(x)单增且过原点 所以当x>0时
f'(x)>f'(0)=0
当x<0时 f'(x)<f'(0)=0
所以当x>0时 f'(x)单增
x<0时 f'(x)单减
因此f(x)<1的解就是-2<2a+b<4(a,b为正)
可得0<a<2 0<b<4
因为a+3>0 b+3>0
b<4-2a,a<2-b/2
(b+3)/(a+3)<(4-2a+3)/(a+3)
令a+3=m(3<m<5)
则a=m-3
代进去有：
(b+3)/(a+3)<[4-2(m-3)+3]/m
=(4-2m+6+3)/m
=(13-2m)/m
=13/m-2<13/3-2=7/3

(b+3)/(a+3)>(b+3)/(2-b/2+3)
=(b+3)/(5-b/2)
=(2b+6)/(10-b)
令10-b=n(6<n<10)
则b=10-n
(b+3)/(a+3)>(2b+6)/(10-b)
=[2(10-n)+6]/n
=(26-n)/n
=26/n-1>1.6=5/3
所以最后的范围是:(5/3,7/3)

热心网友 时间：2024-10-31 15:50

由x -2 0 4
f(x) 1 -1 1
画出函数图像
因为f'(x)的图象在[-2,+ ∞)上单增且过原点
所以当x<0,f(x)递减
x>0,f(x)递增
由函数图像得,f(x)<1的解是,-2<x<4
两正数a,b满足f(2a+b)<1,得出条件:
-2<2a+b<4
a>0
b>0
设K=(b+3)/(a+3) ,以a为横轴b为纵轴画出直角坐标系
则K是点(a,b)到点(-3,-3)的斜率,这是线性规划问题,根据条件画出可行域

(不要理会底下的点,排版需要)

............4-(-3)........7
Kmax=————=——
............0-(-3)........3

............0-(-3)........3
Kmin=————=——
............2-(-3)........5

所以(b+3)/(a+3)取值范围是[3/5,7/3]