...ti>0(i=1,2,3,...,n)且∑(i=1)ti=1.证:至少存

发布网友 发布时间：2024-10-23 20:17

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热心网友 时间：2024-11-03 00:09

因为xi为区间[a,b]上的n个点，不妨取a≤x1<x2<...<xn≤b
记P=max{f(x1),f(x2),...,f(xn)}，Q=min{f(x1),f(x2),...,f(xn)}，则P≥Q

1. 若P=Q，即f(x1)=f(x2)=...=f(xn)，此时P=Q=t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)
取x2,x3,...,x{n-1}中任一值作为ξ，都有ξ∈(a,b)，且f(ξ)=t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)

2. 若P>Q，记f(xp)=P，a≤xp≤b
f(xq)=Q，a≤xq≤b
则f(xp)≥f(xi)，f(xq)≤f(xi)，i=1,2,...,n
令F(x)=f(x)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]，则
F(xp)=f(xp)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]
=f(xp)*(t1+t2+...+tn)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]
=t1*[f(xp)-f(x1)]+t2*[f(xp)-f(x2)]+...+tn*[f(xp)-f(xn)]
>0
F(xq)=f(xq)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]
=f(xq)*(t1+t2+...+tn)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]
=t1*[f(xq)-f(x1)]+t2*[f(xq)-f(x2)]+...+tn*[f(xq)-f(xn)]
<0
其中，f(xp)-f(xi)与f(xq)-f(xi)不全为零，i=1,2,...,n
由介值定理，至少存在一点ξ∈(xp,xq)属于(a,b)，或ξ∈(xq,xp)属于(a,b)
使得F(ξ)=0，即f(ξ)=t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)

综上，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)