若对任意的 x>y>0 (√2)xy(x-y)-ky(x-y)+1大于等于0恒成立,则参数K的...

发布网友 发布时间：2024-10-23 21:21

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热心网友 时间：2024-11-13 20:39

先对上式移向解出k得 k<=(√2)x + 1/ [y(x-y)]
即原式就等价于这个式子 要使这个式子恒成立 只需 k<= (√2)x + 1/ [y(x-y)]的最小值
即转化为求 (√2)x + 1/ [y(x-y)] 的最小值 而(√2)x 单调递增 所以只需求1/ [y(x-y)] 的最小值 也即是求y(x-y)的最大值 而这就是一个关于y的一元二次方程 所以当y=x/2时y(x-y)最大 即 (√2)x + 1/ [y(x-y)] 最小 带入得k<=(√2)x + 4/(x^2) 所以我们只需求这个式子√2x + 4/(x^2)的最小值 而这个式子很特殊 是两个正数的和的最小值 我们应联想到均值不等式 这个题就用均值不等式的推广 a+b+c>=3倍3次根号下abc
所以(√2)x + 4/(x^2) = (√2/2)x+(√2/2)x + 4/(x^2)>=3倍3次根号下(√2/2)x*(√2/2)x*4/(x^2)=3倍3次根号下2
所以(√2)x + 4/(x^2)的最小值为3倍3次根号下2
所以k<=3倍3次根号下2 即k的最大值为3倍3次根号下2
这个题很巧妙的运用了均值不等式的推广 以及问题的等价转换 均值不等式还有很多运用 主要就是在求最值上面
对于它的多种运用你们以后复习的时候会系统的归结起来的
谢谢采纳

热心网友 时间：2024-11-13 20:41

要使(√2)xy(x-y)-ky(x-y)+1≥0
参变量分离即有
k≤(√2)x+1/[y(x-y)]
现将1/[y(x-y)]讨论，要使k满足恒成立的条件，则必有这个式子取最小值，也就是当y=x/2时成立。
于是原式就会有
k≤(√2)x+4/（x2）
令h(x)=(√2)x+4/（x2）然后求导
h`(x)=√2-8/(x3）
当x=√2*2^（1/3）时取最小，再带回原式
k≤2^(4/3)+2^(-1/3)