直线点斜式,直线点斜式的推导

发布网友 发布时间：2024-10-24 04:51

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热心网友 时间：2024-10-24 06:51

点斜式（百度百科）：点斜式是指一种算式，已知直线上一点（a，b）并且存在直线的斜率k，则直线可表示为y-b=k（x-a）。

定义

直线点斜式的推导基于点和直线的斜率来表示直线方程。

若直线L经过点A （x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2，那么AB=（x2-x1，y2-y1）是L的一个方向向量，于是直线L的斜率k=（y2-y1）/（x2-x1）。

方程y-b=k（x-a）叫做直线的点斜式方程，其中 （a，b）是直线上一点。

注：k=（y2-y1）/（x2-x1）（y2≠y1，x2≠x1）

当直线与x轴垂直时，k不存在，直线可表示为x=x1

当直线与y轴垂直时，k=0，直线可表示为y=y1

应用

点斜式普遍用于导数当中，用于求切线方程时，已知切线上一点和曲线导数（曲线上某点切线的斜率）求切线方程时用。

适用于知道一个点的坐标和直线斜率，求直线方程的题目。

推导

若直线L经过点P1（x1，y1），且斜率为k，求L的方程。

解：设点P（x，y）是直线上不同于点P1的任意一点。

直线PP1的斜率=直线L的斜率，根据经过两点的直线斜率公式k=（y2-y1）/（x2-x1），得

k=（y-y1）/（x-x1）

直线L的方程为：y-y1=k（x-x1）

说明

这个方程是由直线上一点和斜率确定的，这一点必须在直线上，否则点斜式方程不成立；当直线L的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x=x1。

方程用途

在求曲线切线方程中，利用点斜式可以表示切线方程。有时题目会告诉曲线外一点（a，b）和曲线方程，利用导数公式求出切点坐标A（x，y），再利用点斜式表示切线方程。

“直线的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。