已知:如图,直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,且AC...

发布网友发布时间：2024-10-24 04:29

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热心网友时间：2024-10-24 11:41

（1）证明：连结OC，
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°．
∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．

（2）过点O作OG⊥AB于G，
∵∠OCD=90°，CD⊥PA，
∴四边形OCDG是矩形，
∴OG=CD，GD=OC，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=OC=5，
∴DG=5，
∵tan∠ACD= AD CD = 1 2 ，设AD=x，CD=2x，则OG=2x，
∴AG=DG-AD=5-x，
在Rt△AGO中，由勾股定理知AG 2 +OG 2 =OA 2 ，
∴（5-x） 2 +（2x） 2 =25，
解得x 1 =2，x 2 =0（舍去），
∴由垂径定理得：AB=2AG=2×（5-2）=6．

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