...向量m=(2cosx,1),向量n=(cosx,根号3sin2x),函数f(

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好吧，这题这样做：(1)f(x)=mn+2010=2(cosx)^2+√3sin2x+2010=cos2x+√3sin2x+2011=2sin(2x+π/6)+2011
所以f(x)=2sin(2x+π/6)+2011
令2kπ+π/2≤2x+π/6≤2kπ+3π/2，解得：kπ+π/6≤x≤kπ+2π/3，
所以单调递减区间为[kπ+π/6,kπ+2π/3] (k∈Z)
(2)f(A)=2sin(2A+π/6)+2011=2012，所以sin(2A+π/6)=1/2
因为0＜A＜π，所以π/6＜2A+π/6＜2π+π/6，所以2A+π/6=5π/6，所以A=π/3，则sinA=√3/3
S△=1/2*bcsinA=1/2*1*c*√3/3=√3/2，所以c=3
所以a^2=b^2+c^2-2bccosA=1+9-2×1×3×0.5=7，所以a=√7
又有a/sinA=c/sinC，所以sinC=√21/7
所以1005(a+c)/(sinA+sinC)=1005×(3+√7)/(√3/3+√21/7)=1005√21

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